Комплексные числа
В арифметике и алгебре рассматривают различные действия над числами: арифметические (сложение, вычитание, умножение, деление), возведение в степень, извлечение корня и т.д. Только два действия – сложение и умножение – безусловно выполнимы в области натуральных чисел: сумма и произведение натуральных чисел также натуральные числа. Однако в области арифметики натуральных чисел уже вычитание не всегда выполнимо – для возможности образования разности двух натуральных чисел множество нужно дополнить до множества целых чисел , введя в него ноль и целые отрицательные числа. Такие операции как деление и извлечение корня становятся выполнимыми только после расширения рассматриваемой числовой области: множество целых чисел должно быть, соответственно, дополнено вначале до множества за счет введения рациональных чисел, а потом и до множества действительных чисел за счет введения иррациональных чисел.
Этот
процесс можно схематически изобразить
цепочкой
,
где
,
,
,
обозначают соответственно множества
натуральных, целых, рациональных и
действительных чисел. Причем каждая
последующая числовая система сохраняет
все основные свойства предыдущей и
обладает рядом новых полезных свойств.
Так, в
можно только складывать и умножать, в
можно уже вычитать, в
‑
делить. В множестве
действительных чисел можно извлекать
корни любой степени из положительных
чисел, хотя в
даже число
не имеет смысла. Но и в множестве
действительных чисел
такое простое уравнение
не имеет решений. Так как многие задачи
практики приводят к алгебраическим
уравнениям, требуется построить новое
множество, содержащее множество
действительных чисел и решение любого
алгебраического уравнения. Символом
,
который называется мнимой единицей,
обозначим корень уравнения
,
или
.
Множество
,
которое представляет собой множество
всех двучленов вида
,
называется множеством комплексных
чисел. Действительное число
называется действительной частью
комплексного числа
,
‑ мнимой частью или коэффициентом
при мнимой единице. Два комплексных
числа
и
будут равны тогда и только тогда, когда
.
При этом действительные числа
рассматриваются как частный случай
комплексных чисел, мнимая часть которых
равна нулю (
).
Комплексное число равно нулю тогда и
только тогда, когда равны нулю его
действительная и мнимая части.
Операции
сложения, вычитания и умножения над
числами вида
производятся по обычным правилам алгебры
с единственным дополнительным условием:
Операции над комплексными числами
Алгебраическую операцию сложения на множестве можно задать следующим образом:
.
Сложение
комплексных чисел ассоциативно, т.е.
и коммутативно, т.е.
.
Сумма чисел
,
поэтому число
является противоположным числу
,
тем самым определена операция вычитания
.
Учитывая,
что через
обозначен корень уравнения
,
т.е.
или
,
можно определить умножение комплексных
чисел:
.
Умножение
также ассоциативно и коммутативно.
Произведение нескольких сомножителей
вычисляется как последовательное
умножение. Натуральная степень
комплексного числа
может быть найдена при помощи формулы
бинома Ньютона. Поскольку
,
,
,
,
,
при возведении
в любую натуральную степень
,
надо найти остаток от деления
на 4 и возвести
в степень, равную этому остатку.
Чтобы
определить деление комплексных чисел,
нужно определить число обратное числу
.
Для действительного числа
обратным будет число
.
Выражение
запишем в стандартной форме. Для этого
умножим числитель и знаменатель на
комплексное число
:
,
где
.
Значит, для любого ненулевого комплексного числа существует обратное. Таким образом, операция деления определена как произведение делимого на число, обратное делителю.
Множество
комплексных чисел является расширением
множества действительных чисел, любое
действительное число
можно записать в виде
.
Число
называется сопряженным числу
и обозначается
.
Сумма и произведение сопряженных чисел являются числами действительными:
;
.
Число
называется модулем или абсолютной
величиной комплексного числа
.
Очевидно, что
.
Свойства сопряжения:
;
.
Каждому комплексному числу поставим в соответствие точку плоскости, координатами которой в прямоугольной системе координат являются числа и .
Рис. 3.1
Тогда
каждой точке
плоскости будет соответствовать
единственное комплексное число
.
В результате получается взаимно
однозначное соответствие между множеством
комплексных чисел C
и множеством точек плоскости, которое
позволяет отождествить произвольное
комплексное число
с точкой плоскости, имеющей в выбранной
системе координат координаты
.
При этом точки горизонтальной координатной
оси
изображают действительные числа и
поэтому эту ось называют действительной
осью, а по вертикальной оси
откладываются мнимые части комплексных
чисел, поэтому вертикальная ось
называется мнимой осью.
Расстояние
от точки
до начала координат есть действительное
неотрицательное число
,
которое называется модулем
комплексного числа
и обозначается
.
Угол между положительным направлением
действительной оси и радиус-вектором
точки
называется аргументом
и обозначается
.
Для числа 0 аргумент не определен, для
остальных комплексных чисел аргумент
определяется с точностью до целых
кратных
,
при этом положительные углы отсчитываются
против часовой стрелки.
Пусть
.
Из рис. 3.1 ясно, что модуль числа
находится по формуле
.
Аргумент числа
определяется из равенств
,
.
Отсюда
|
(3.1) |
Запись числа в виде (3.1) называется тригонометрической формой комплексного числа.
Если воспользоваться формулой Эйлера,
|
(3.2) |
то от тригонометрической формы записи комплексного числа (3.2) несложно перейти к его показательной форме записи
.
Пусть
и
‑ сопряженные числа. Если
,
то
.
Геометрически
и
являются точками, симметричными
относительно действительной оси
(рис. 3.2). Отсюда вытекают равенства
.
Рис. 3.2
Перемножать и делить комплексные числа удобнее, если они представлены в тригонометрической форме.
|
(3.3) |
В показательной форме:
При умножении комплексных чисел их аргументы складываются, а модули перемножаются. Это правило верно для любого числа сомножителей.
Аналогично,
|
(3.4) |
.
При выполнении деления комплексных чисел в тригонометрической форме их аргументы вычитаются, а модули нужно разделить.