- •А кадемия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Курс лекций
- •Введение Лекция 1. Основы математической логики
- •Высказывания и логические связки
- •Контрольные вопросы к теме:
- •Элементарная математика Лекция 2. Элементы теории множеств.
- •Основные понятия.
- •Основные операции над множествами
- •Отображения.
- •Отношения эквивалентности и упорядоченности
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 3. Числовые множества.
- •Основные понятия
- •Соединения. Бином Ньютона.
- •Комплексные числа
- •Операции над комплексными числами
- •Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Аналитическая геометрия
- •Лекция 4. Векторы
- •Основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Линейная зависимость векторов
- •Базис. Координаты вектора в базисе
- •Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
- •Направляющие косинусы
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 5. Прямая
- •Основные понятия
- •Взаимное расположение прямых
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 6. Плоскость
- •Основные понятия
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 7. Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Парабола
- •Исследование на плоскости уравнения второй степени
- •Контрольные вопросы к теме
- •Линейная алгебра Лекция 8. Понятие евклидова пространства.
- •– Мерные векторы
- •Коллинеарные векторы
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 9. Матрицы
- •Основные понятия
- •Операции над матрицами
- •Определитель матрицы
- •Ранг матрицы
- •Обратная матрица
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 10. *Понятие линейного оператора*
- •Переход к новому базису
- •Линейное преобразование переменных
- •Собственные значения и собственные вектора матриц
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 11. Многочлены
- •Основные понятия
- •Теорема о делении с остатком.
- •Теорема Безу.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Понятие квадратичной формы.
- •Канонический базис квадратичной формы
- •Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы
- •Канонический базис Якоби квадратичной формы .
- •Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
- •Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда , ,…, .
- •Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда , ,…, .
- •Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы положительны.
- •Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы отрицательны
- •Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы положительны.
- •Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы четного порядка положительны, а главные миноры матрицы нечетного порядка отрицательны.
- •Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 13. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •Метод Гаусса
- •Однородные системы уравнений.
- •Разрешенные системы линейных уравнений
- •Можно построить решение системы уравнений, у которого значения свободных переменных будут равны соответственно ;
- •Если у решений и системы уравнений значения свободных переменных совпадают, то и сами решения совпадают.
- •Контрольные вопросы к теме
- •Лекция 14. *Основы линейного программирования*
- •Линейное программирование
- •Задача линейного программирования
- •Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме.
- •Множества допустимых решений
- •Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками.
- •Симплекс-метод с естественным базисом.
- •Симплексный метод с искусственным базисом (м-метод).
- •Теория двойственности.
- •Теоремы двойственности
- •Контрольные вопросы к теме
- •Экзаменационные вопросы
- •Литература
Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы
Теорема. Ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов симметрической матрицы , , является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение – ее каноническим видом в базисе .
Доказательство.
, если , так как – ортогональная система векторов – канонический базис квадратичной формы .
, так как векторы системы нормированы, то , .
Канонический базис Якоби квадратичной формы .
Будем говорить, что матрица удовлетворяет условию Якоби, если определители
, ,
называемые угловыми минорами матрицы не равны нулю. Очевидно, что , .
Обозначим через матрицу
.
Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т.д.
Из условия , следует, что и, значит, каждая система уравнений , , где – –й вектор диагональной системы, имеет единственное решение , . Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы , которая удовлетворяет условию Якоби.
Теорема. Если матрица квадратичной формы удовлетворяет условию Якоби, то система векторов Якоби матрицы является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение
–
ее каноническим видом в базисе .
Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
Квадратичная форма называется положительно определенной, если значение на каждом ненулевом значении больше нуля, т.е.
, если ,
Если же на каждом , то квадратичная форма называется отрицательно определенной..
Теорема. Дана квадратичная форма , – ее канонический базис, а выражение , канонический вид в базисе . Тогда справедливы следующие утверждения:
Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда , ,…, .
Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда , ,…, .
Доказательство.
Необходимость. Дано, что – положительно определенная форма. Так как , то и поэтому .
Достаточность. Дано, что в каноническом виде все коэффициенты , ,…, Нужно доказать, что положительно определена. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор и разложим его по базису :
Так как , то в разложении не все коэффициенты равны нулю. Следовательно , так как , ,…, и среди чисел хотя бы одно отлично от нуля.
Аналогично доказывается и второе утверждение.
Эта теорема дает два наиболее употребляемых критерия положительной и отрицательной определенности квадратичной формы.
Теорема. Дана квадратичная форма . Тогда справедливы следующие утверждения:
Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы положительны.
Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы отрицательны
Доказательство
Докажем первое утверждение. Рассмотрим ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов симметрической матрицы , и пусть , . Тогда – канонический базис квадратичной формы , а выражение – ее канонический вид в базисе . Теперь первое утверждение этой теоремы вытекает из первого предложения предыдущей теоремы.
Второе предложение доказывается аналогично.
Лемма. Если какой-нибудь угловой минор матрицы равен нулю, то найдется такой ненулевой вектор , что
Теорема (Критерий Сильвестра). Справедливы следующие утверждения: