7.2. Общие теоремы динамики системы

Запишем систему уравнений Ньютона–Эйлера как

Общие теоремы динамики позволяют описывать динамику движений системы как целого. Ее поступательное, вращательные движения как целого, аспекты этих движений, динамику взаимных переходов. На их основе составляются дифференциальные уравнения движения системы как целого в количестве, равном числу степеней свободы.

Что же такое “общие теоремы динамики”?

Если посредством каких-либо алгебраических операций исходная система уравнений Ньютона–Эйлера приводится к виду

или

,

то такие формы уравнений называются “общими теоремами” в дифференциальной и интегральной формах.

Здесь – та или иная скалярная или векторная динамическая мера движения системы как целого, – динамическая мера механического воздействия на систему.

Таким образом,

Исходная система уравнений Ньютона–Эйлера заменяется эквивалентной системой общих теорем, описывающих движения не отдельных точек систем, а движения системы как целого.

Динамика любой системы определяется четырьмя общими теоремами динамики

(1) Теорема об изменении количества движения (импульса) системы

1) – дифференциальная форма.

Быстрота изменения количества движения системы равняется главному вектору внешних сил.

2) – интегральная форма.

Изменение количества движения системы при переходе системы из начального положения в конечное равняется импульсу внешних сил  .

– количество движения системы (другое стандартное обозначение );

.

Количество движения системы есть векторная динамическая (кинетическая) мера поступательной части движения системы как целого.

Таким образом, описывает динамический аспект поступательного движения.

(2)Теорема о движении центра масс системы

В классической механике ( ) систем постоянного состава теорема о движении центра масс системы с точки зрения динамики эквивалентна теореме об изменении количества движения системы, но отражает кинематический аспект динамики поступательного движения.

В формулировке Эйлера рассматриваемая теорема имеет следующий вид:

.

Ускорение, с которым движется центр масс системы, прямо пропорционально главному вектору внешних сил, действующих на систему, и обратно пропорционально массе системы.

Эта теорема классической механики выводится из теоремы об изменении количества движения системы следующим образом:

,

(так как масса системы постоянна)

Вывод: поступательная часть движений системы исчерпывающе полно описывается этими двумя теоремами.

(3) Теорема об изменении кинетического момента системы

Кинетический момент – момент количества движения системы – момент импульса системы – угловой импульс системы – главный вектор импульсов системы. – общепринятые обозначения.

1) – дифференциальная форма;

2) – интегральная форма.

Кинетический момент – есть векторная динамическая (кинетическая) мера вращательной части движения системы как целого.

Эта теорема исчерпывающе полно описывает динамику вращательных движений системы как целого.

В качестве итога отметим, что эти три теоремы полностью описывают динамику поступательного, вращательных, плоского и произвольного движений твердого тела и системы.

(4) Теорема об изменении кинетической энергии

Рассмотрим эту теорему предельно подробно в силу особой ее роли в задачах Прикладной механики. Теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме записывается так:

.

Прежде чем говорить подробнее о содержании и применении этой теоремы, выведем ее в силу простоты идеи и самого вывода.

Она выводится из уравнений Ньютона–Эйлера. Запишем систему уравнений Ньютона–Эйлера в форме

(1)

Проведем следующие алгебраические операции: умножим скалярно выражение (1) на и просуммируем по всем точкам i. Получим:

.

Левая сумма (обозначим ее буквой Т, как принято с XIX века) расписывается легко. Здесь

.

Эту сумму можно записать также в иной форме:

, или .

Все эти формы записи определяют то, что в теоретической механике, в физике и в технике называется кинетической энергией системы.

Почему получается такая формула для кинетической энергии?

Именно такая структура получилась естественным путем в истории механики, но если взять теорию относительности Эйнштейна, то при разложении выражения для полной энергии в ряд по отношению скорости к скорости света, получим записанное выше выражение для кинетической энергии системы.

Кинетическая энергия показывает вклад механического движения в общую меру – энергию, которая является единой кинетической мерой всякого физического движения материальных объектов.

Таким образом, получаем следующую форму записи теоремы:

Скалярное произведение по определению носит название мощности силы . В курсе общей физики аналогично вводится и мощность момента .

0.

Что характеризует мощность с точки зрения физических основ механики?

Мощность источника или приемника движения характеризует быстроту изменения энергии этого приемника или источника движения.

То есть если какой-то объект получает или отдает свою энергию, то мы говорим об этом объекте как об источнике движения (энергия может быть любой, а не только механической).

Зачем в теоретической механике вводить эти величины?

Тот или иной вид Механического Движения может переходить в другой вид механического движения, в другие формы движения, например в тепловую, и наоборот. Для того чтобы показать, что различные формы Движений могут переходить из одной формы в другие, и вводится единая скалярная мера под названием энергия. И как часть полной энергии – кинетическая энергия.

Теорема об изменении кинетической энергии получена нами в наипростейшем скалярном виде:

.

Видно, что сумма мощностей всех внутренних сил и моментов просто можно заменить одной суммарной мощностью в силу ее аддитивности как меры.

Вспомним, что Мера какого-либо движения или воздействия как физическая величина ставится в соответствие движению и удовлетворяет трем правилам.

1) Если движение или воздействие имеет место, то Мера будет отлична от нуля и изменяется.

2) Мера должна быть аддитивной, т. е.складываться в каждом конкретном случае по-своему.

3) В моделях замкнутых систем она должна сохраняться.

Итак, то что мы получили, есть дифференциальная форма теоремы об изменении кинетической энергии. Помимо дифференциальной формы есть еще и интегральная форма. И они обе равнозначно применяются для решения задач механики. Посмотрим, как записывается интегральная форма теоремы. Проинтегрируем по времени дифференциальную форму теоремы и получим:

Что такое ? Это . В результате

Вводится новая величина, новая энергетическая мера – работа, которая характеризует изменение кинетической энергии системы в результате механического воздействия на эту систему при ее переходе из начального положения в конечное.

.

Эта формула есть не что иное, как определение работы силы.

Дадим определение работы момента:

где a – угол поворота вокруг мгновенной оси. Последний интеграл вычисляется по дуге годографа конца вектора da.

При совершении работы может измениться как механическое состояние тела или системы, так и часть энергии может перейти в тепло.

Окончательно интегральную форму теоремы об изменении кинетической энергии запишем так:

Как формулируются теоремы?

Первая дифференциальная формулировка теоремы звучит так:

Быстрота изменения кинетической энергии равняется сумме мощностей внешних и внутренних сил.

Интегральная же форма теоремы формулируется так:

Изменение кинетической системы при переходе ее из начального положения в конечное равняется сумме работ внешних и внутренних сил на этом переходе.

Эта теорема является одним из “четырех китов”, на которой базируется вся прикладная механика, а именно: на теореме об изменении кинетической энергии, Принципе Даламбера, Принципах возможных статических и динамических перемещений, уравнениях движения в ковариантных формах, например, уравнениях Лагранжа 2-го рода (La Grange, 1788г., Франция).