Возможны три случая движения шарика вдоль трубки
Проанализируем их с точки зрения математики:
1)
,
.
В этом случае
– неоднородное гармоническое уравнение;
2)
,
– уравнение динамического равновесия
– шарик зависает в положении статического
равновесия;
3)
,
.
В этом случае
– неоднородное гиперболическое
уравнение.
Рассмотрим первый случай движения шарика:
.
Проведем математический анализ уравнения
.
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.
Вспомним, что утверждает математика на предмет решения такого рода уравнений? Запишем общую форму таких уравнений:
В
силу линейности уравнения (
…)
в дифференциальном отношении общее
решение пишется как сумма всех решений
от функций, составляющих правую часть
уравнения, включая и 0-функцию:
Действительно,
в так называемом однородном
уравнении
сумма двух функций дает ноль:
Здесь ноль
сумма двух функций – тоже функция
на всем промежутке изменения t.
В нашем случае
Так как это линейное уравнение, то его общее решение находится как сумма решений от каждого корня.
В
силу линейности однородного уравнения
решение будем искать в виде
– линейной
в дифференциальном отношении функции,
так как производная любой степени этой
функции пропорциональна самой функции.
Здесь
– характеристическое
уравнение.
В силу линейности однородного уравнения
Здесь
– комплексные функции, а
– комплексно сопряженные константы,
так как
есть действительная функция.
Три формы решения однородного гармонического уравнения
1-я:
.
Эта форма чаще всего применяется в теоретической физике, в электротехнике, в теории колебаний.
2-я:
.
Эта
форма получается из первой на основании
того, что
есть гармонические
функции. Здесь
уже есть действительные константы,
выражающиеся через
.
Эта форма применяется при решении прикладных задач механики и техники.
3-я:
– «амплитуда
– фаза»
применяется в основном в общей физике,
теории колебаний и в метрологии.
Здесь
– наблюдаемые величины.
Запишем
далее
при составлении общего решения по второй
форме.
Найдем
решение уравнения
.
В соответствии с принятым в математике
будем искать его методом
перебора функций:
а) 
не годится;
б) 
не годится;
в) 
.
Тогда
.
Таким образом, общее решение неоднородного уравнения будет таким:
.
Удовлетворим
начальным
условиям:
при
,
,
,
,
.
Найдем частное решение рассматриваемого уравнения.
Здесь
Это
решение описывает гармонические
колебания относительно положения
,
с круговой частотой
.
Рассмотрим вариант зависания шарика
В
этом случае трубка продолжает вращаться
с
.
При этом
,
а шарик зависает в положении
.
Рассмотрим 3-й вариант: решения задачи
Общее решение неоднородного уравнения:
,
,
,
,
.
Здесь
– действительные постоянные.
,
,
.
.
.
,
.
В этом случае система “шарик с пружиной” будет, убыстряясь, растягиваться вдоль трубки по закону гиперкосинуса.
Подведем итоги.
Рассмотрев темы “Введение в динамику…”, “Динамика материальной точки”, “Динамика относительного движения точки” на протяжении четырех лекций и закончив первый модуль курса “Динамика точки и системы”, мы получили достаточное представление о предмете, содержании, методах и задачах раздела ТМ «Динамика».