Частные случаи определения цм

1 . Метод симметрии (рис. 6.3)

Рис. 5.4

2. Метод разбиения на тела (рис. 6.4)

Рис. 6.4

1. Если есть составное тело, то разобьем его на части.

2. Введем глобальную систему координат.

3. Определим в данном примере координаты ЦМ по формулам:

;

.

3. Метод отрицательных масс (рис. 6.5)

Рис. 6.5

Если тело имеет “дырку”, то поступаем так: массу тела представим как разность двух масс , где – масса сплошного тела, – масса дырки. Для определения координат ЦМ более сложного тела или системы пользуемся методом отрицательных масс.

Лекция 7

7.1. Введение в динамику систем постоянного состава

С истемы бывают постоянного и переменного состава (рис. 7.1). В том случае, когда число точек системы фиксировано ( , или – континуум) – состав постоянный, в противном случае – переменный.

Рассмотрим некоторую механическую систему постоянного состава. Выделим силы и пары сил, действующие на эту систему.

Как классифицировать систему сил и пар сил, действующих на механическую систему?

– результирующая сила, действующая на -ю точку, заменяется:

на – 1-я классификация,

“ ” – внешние силы, “ ” – внутренние силы;

– 2-я классификация,

“ ” – активные силы, “ ” – реакции всех связей.

В зависимости от того, как мы разбиваем систему сил – первым способом, или вторым, получаются либо классическая ньютонова механика, либо механика Принципов – аналитическая механика.

7.1.1. Свойства внутренних сил системы

Внутренние силы имеют два свойства:

Свойство 1. Главный вектор системы внутренних сил равен нулю.

Разделим все точки системы на пары, и далее разделим все силы, действующие между точками системы, попарно. Система внутренних сил распадается на j-е пары. Представим главный вектор всей системы внутренних сил как сумму главных векторов по парам. После разбиения видно, что силы, действующие на каждые две частицы, взаимно компенсируются. В результате этого получится, что главный вектор всех внутренних сил будет равняться нулю. Это свойство носит название первого свойства внутренних сил (рис. 7.2).

.

Свойство 2. Главный момент внутренних сил равен нулю.

Теперь рассмотрим главный момент внутренних сил. Опять разбиваем силы аналогично предыдущему. Выделяем две точки, разбив на пары. Относительно центра О подсчитаем главный момент всех внутренних сил, как сумму главных моментов каждой силы :

7.1.2. Уравнения движения системы в форме Ньютона-Эйлера

Составим уравнения движения всех точек системы, используя 1-ю классификацию системы сил:

,

В результате получается замкнутая система связанных уравнений движения точек механической системы – уравнения Ньютона–Эйлера. Возникает вопрос о нахождении решения этой системы уравнений.

Оказалось, что аналитически решить задачу о гравитационном взаимодействии даже всего трех материальных точек практически невозможно.

, .

Однако в 1911 г. все-таки было получено решение в аналитическом виде финским механиком и математиком Карлом Зундманом. Решение было столь громоздким, что проанализировать его оказалось невозможным. Это указало на то, что необходимо было найти какие-то обходные способы интегрирования системы уравнений Ньютона–Эйлера. И один из таких способов был найден давно (XIX–XX века) в виде общих теорем динамики системы.