10.2. Радиус инерции

В данной задаче i₂ есть радиус инерции составного второго тела.

Что есть радиус инерции?

С точки зрения физических основ механики, во-первых, радиус инерции ТТ (i) равен приведенной длине эквивалентного математического маятника той же массы и того же момента инерции составного тела относительно оси вращения .

Или, во-вторых, радиус инерции равен приведенному радиусу тонкого обруча, имеющего ту же массу и тот же момент инерции относительно оси вращения. Здесь .

5. Вычислим моменты инерции тел 2 и 3, входящих в систему:

.

6. Скомпонуем выражение кинетической энергии системы.

В прикладной механике активно используется прием, когда исходная система с S=1 приводится по кинетической энергии к эквивалентной (приведенной) массе m_пр, движущейся с искомой скоростью v и ускорением a, или эквивалентному диску с приведенным моментом инерции. Покажем это:

,

Таким образом, для системы с одной степенью свободы структура выражения кинетической энергии принимает вид: , вне зависимости от структурной сложности рассматриваемой системы.

7. Вычислим левую часть теоремы: .

8. Вычислим суммарную мощность в правой части теоремы. Заметим, что мощность и работа идеальных связей равны нулю. Поэтому такие силы и пары сил можно не изображать на расчетной схеме. Тогда

,

,

Заметим, что для систем с S = 1 структура выражения мощности при постоянных силах всегда будет иметь вид

9. Скомпонуем теорему :

.

10. Найдем решение задачи:

,

возьмем , получим .

2-я часть задачи

Получим ответ на поставленный во второй части вопрос, привлекая выкладки предыдущей задачи:

1) ;

2) .

Вывод

Для любых по структуре систем с одной степенью свободы при постоянных силах и парах сил, действующих на нее, задачи такого типа являются типовыми с одинаковыми по структуре ответами.

Лекция 11

11.1. Теоремы о движении центра масс системы и об изменении количества движений системы

Рассмотрим движение системы как целого, в котором можно выделить некоторую поступательную часть ее движения. Тогда, чтобы отбросить вращательную часть движения системы, достаточно просуммировать уравнения Ньютона–Эйлера по точкам.

,

Быстрота изменения количества движения системы равна главному вектору только внешних сил.

Из этого вытекают три следствия.

Следствие 1

Только внутренние силы непосредственно не могут изменить количество движения системы. В классической механике невозможно самовозбуждение движения под действием только внутренних сил. Однако опосредованно можно: через возбуждение внешних диссипативных сил. Например, сил кулоновского, вязкого, магнитного и других видов трения.

Следствие 2

Если , то

Если главный вектор внешних сил равен нулю для всех t, то количество движения сохраняется и имеет место “закон сохранения количества движения системы”.

В математике в этом случае говорят: имеет место первый интеграл уравнений движения – интеграл импульсов.

Следствие 3

Если , то

Количество движения (импульс) по выделенному направлению при этом условии сохраняется.

Вывод теоремы о движении центра масс.

так как , то .

Если , то .

Если , то

63