2. Задача о коническом маятнике

Маятник представляет собой шарик массой m, подвешенный на нити длиной l, при условии, что .

Необходимо определить закон движения маятника!

Задачу будем решать по предложенному алгоритму.

1. Нарисуем расчетную схему задачи.

2. Запишем уравнение движения маятника

3. Эта задача есть смешанная 3-я задача динамики о несвободном движении точки.

4. Задачу решаем в естественных координатах, так как известна траектория движения точки (рис. 2.2).

Рис. 2.2

: – дифференциальное уравнение первого порядка. Отсюда следует для любых , что ;

: .

Таким образом, алгебраическое уравнение движения

: уравнение динамического равновесия

и лежат в нормальной плоскости и , на не проецируются.

Таким образом, точка движется равномерно по окружности .

Движение происходит по окружности и при постоянном угле и скорости: ,

Конический маятник может быть использован как прибор для измерения ускорения свободного падения. Это измерение будет косвенным и при этом достаточно точным в соответствии с формулой

.

3. Задача о динамическом давлении транспортного средства типа «трамвай» на рельсы (Как создавать образ математической модели) (рис. 2.3, 2.4)

Модельная система состоит из двух математических точек , , связанных пружиной – динамической связью, в которой масса совершает колебание по закону: .

Рис. 2.3

Д ля того чтобы рассчитать рельсы на прочность, нужно знать силу динамического давления на рельс, а она равна по величине и противоположна по направлению реакции N.

Избавляемся от силы упругости (складываем уравнения).

В динамике давления и реакции отличаются от статических на величину динамических добавок, пропорциональных ускорениям движущихся частей.

,

Динамические добавки могут быть знакопеременным и в некоторые моменты времени «съедать» статическую составляющую, в результате этого трамвай подпрыгнет, упадет и поедет дальше (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Подводя итог, отметим, что

Алгоритм решения задач динамики точки есть алгоритм построения математической модели процесса движения этой точки, которая состоит из четырех компонентов: пространственного геометрического образа – расчетной схемы; формализма, как совокупности уравнений, алгоритмов и программ, самого решения; интерпретации как содержательного толкования.

Лекция 3 Динамика относительного движения точки

Динамика относительного движения материальной точки – это динамика точки в неинерциальных системах координат (см. рис. 3.1).

Рис. 3.1

Вспомним основные теоремы кинематики сложного движения точки.

Теорема сложения скоростей

– относительная скорость,

.

Теорема Кориолиса сложения ускорений

,

,

,

.

Составим векторное уравнение относительного движения материальной точки исходя из 2-го закона Ньютона и теоремы Кориолиса.

Тогда

.

Так, по-видимому, рассуждал Л. Эйлер (L.Euler, 1736г., Россия). Со временем в механику были введены эйлеровы силы инерции.

Согласно современному сборнику рекомендуемых терминов по ТМ эйлеровы силы инерции определены так:

– переносная сила инерции,

– кориолисова сила инерции.

С учетом этого векторное уравнение относительного движения примет вид:

.

Таким образом,

Задача о движении точки в неинерциальных осях оказывается математически эквивалентна задаче о движении точки в осях инерциальной системы координат при введении вектора . Поэтому алгоритм ее решения полностью эквивалентен алгоритму решения задач динамики точки в осях .