Первая или прямая задача

Первая или прямая задача динамики материальной точки: по заданному закону движения точки или полной программе ее движения при управляемом программном движении определить силу (силы), вызывающую это движение.

Программа движения точки является полной, если она однозначно определяет закон ее движения. В остальных случаях она является неполной.

В зарубежных и в некоторых современных российских учебниках эту задачу называют второй или обратной.

Известно уравнение движения точки: (число степеней свободы)

;

– полная программа движения точки.

Эта задача решается с помощью дифференцирования.

Вторая или обратная задача динамики

В некоторых недавно изданных российских учебниках, как и за рубежом, она называется первой задачей динамики.

Вторая задача динамики материальной точки: по заданным силам как функциям от определить закон движения точки и ее траекторию.

Эта задача решается методами интегрирования дифференциальных уравнений, а так как в прикладной механике нас интересуют частные решения, то для решения задач необходимо задать еще начальные условия движения точки. К таким задачам относятся: задачи динамики полета, внешней баллистики и т. д.

Третья или смешанная задача динамики: могут быть неизвестны ни закон движения, ни силы. Нужно определить и то и другое.

К этому классу задач относятся задачи о несвободном движении точки и управляемом движении.

Универсальный метод решения этой задачи – метод множителей Лагранжа. Иногда помогает и выбор удобной системы координат.

2.2. Алгоритм решения задач динамики точки

1. Исходя из условий задачи выясняем, можем ли мы взять за модель объекта материальную точку. Если да, то

2. Изображаем точку на траектории, если она известна, или на элементе предполагаемой траектории в состоянии с положительными кинематическими характеристиками (направление осей и проекции скоростей положительны):

, , ,

При этом предполагается, что проекции ускорения положительны:

, , ,

для того чтобы не думать о знаках левых частей уравнений.

Это общетеоретический прием.

3. Проводим анализ задаваемых сил и сил реакций связи и изображаем их на расчетной схеме.

4. Записываем уравнение движения в векторной форме

и классифицируем задачу динамики.

5. Выбираем удобную для решения задачи систему координат и проецируем уравнение на оси этой системы.

6. Проводим физико-математический анализ полученной системы уравнений.

7. Решаем задачу методами математики.

8. Анализируем полученное решение, делаем проверку и интерпретируем данный результат.

Универсальные общетеоретические способы проверки:

а) на размерность;

б) прямой подстановкой;

в) смотрим в ответ, если он есть, в том числе и в жизни;

г) в аэро-, гидродинамике, теории полета… иногда используются асимптотические методы проверки;

д) решаем задачу другим способом.

2.3. Примеры решения задач динамики точки

1. Основная задача внешней баллистики

Тело, массой бросают со скоростью под углом к горизонту. Сила аэродинамического сопротивления, например, имеет вид .

Требуется определить закон движения и траекторию точки (рис. 2.1).

Заметим, что

1. Нарисуем расчетную схему.

Рис. 2.1

2. Запишем уравнение движения точки:

.

3. Возьмем за основу декартову систему координат. Запишем уравнения движения в проекциях на ее оси:

Получим систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка: первое – однородное, второе – неоднородное. Так как уравнения динамически не связаны, то имеет место принцип независимости движений. В силу этого эти уравнения можно решать по отдельности. Суммарное движение будет представлено геометрической суммой двух независимых по x и y движений.

, баллистическая кривая.

В данной задаче движение от массы не зависит.

4. Движение по горизонтали

.

Задаем начальные условия: , . Запишем уравнение в разделенных переменных:

.

5. Решение. Находим частное решение этого дифференциального уравнения при заданных начальных условиях:

.

6. Проводим асимптотическую проверку

при , .

7. Находим зависимость координаты от времени:

8. Проводим асимптотическую проверку :

.

Задача решена правильно.