Лекция 6

6.1. Введение в динамику системы. Масса механической системы

В ТМ любая совокупность материальных точек или твердых тел как моделей объектов, находящихся во взаимной механической связи, называется механической системой.

Механическая система (материальная система) отличается от того, чем является реальная механическая система как часть более общей природной или технической системы. Это всего лишь модельная подсистема. Именно с моделью этой подсистемы мы и работаем.

Что же такое масса в классической теоретической механике? Вспомнив лекцию 1 “Введение в курс…”, определим массу материальной точки как меру ее инертности при поступательном движении. Тогда под массой механической системы постоянного состава будем понимать

Возникает вопрос о понятии центра масс материальной системы.

Для этого вернемся во второй семестр и вспомним понятие “Центр параллельных сил”. Пусть на тело действуют параллельные силы, разные по величине и по направлению, например, направленные вдоль оси z. Тогда можно ввести понятие центра параллельных сил. Пусть он находится в точке С. Его радиус-вектор определится формулой

.

Здесь F_i берутся как алгебраические величины. Проиллюстрируем это на рис. 6.1.

z

С

y

x

Рис. 6.1

Рассмотрим тело, находящееся в поле сил тяжести вблизи поверхности Земли. Здесь оно будет достаточно однородно, а в модели – просто однородно. Тогда получим следующую картину, рис. 6.2

Рис. 6.2

Можно ввести понятие центра тяжести (ЦТ). Это будет центр параллельных сил тяжести. Равнодействующую сил тяжести назовем силой тяжести P = mg. Радиус-вектор ЦТ определится формулой

. (1)

С понятием центра тяжести тесно связанно также понятие “центр масс” тела или системы (ЦМ). Из физических основ механики следует, что

Центр масс тела или системы – это геометрическая точка внутри тела(системы) или вне его, радиус-вектор которой определяется формулой (1) и которая движется как материальная точка с массой, равной массе системы, и ускорением, прямо-пропорциональ­ным главному вектору всех внешних сил и обратно пропорционально массе системы.

.

В дальнейшем поймем, что ЦМ есть центр даламберовых сил инерции.

6.2. Способы определения положения центра масс системы

Если система состоит из совокупности твердых тел, то, выделяя в исходной формуле группы точек соответствующих каждому телу, получим в глобальных координатах:

, – масса системы.

Координаты ЦМ материальной системы в проекции на оси примут вид

, , .

Если тела, входящие в систему линейные, двумерные или объемные, и оказались “плохими”, то вводят понятия линейной , поверхностной или объемной плотности . В качестве примера рассмотрим случай, когда зависит от координат x, y, z в глобальной системе координат: = (x, y, z), тогда получим следующее выражение для :

.