3. Критерий Найквиста

Пусть W(s) - передаточная функция разомкнутой системы автоматического регулирования. Разомкнутую систему полагаем устойчивой. При замыкании выходной сигнал САР x(t) вычитается из входного g(t),образуя разность (t)=g(t)-x(t). Пусть, далее,

W(j) = U()+jV().

Критерий Найквиста формулируется следующим образом:

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой систем необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы (годограф векторной функции W(j)) НЕ охватывала точку с координатами -1+j0.

Годограф симметричен относительно мнимой оси (U() - четная) поэтому все сказанное верно и для <0.

Доказательство.

Докажем справедливость критерия для систем устойчивых в разомкнутом состоянии.

Пусть W(j)=KN(j)/L(j) - частотная передаточная функция разомкнутой системы.

Образуем вспомогательную функцию

- В полученном выражении числитель - характеристический многочлен замкнутой системы, а в знаменателе - характеристический многочлен разомкнутой системы.

- Поскольку степень N(j) меньше степени L(j) то степени многочленов числителя и знаменателя равны. Равными оказываются и коэффициенты в числителе и знаменателе при членах (j)ⁿ. Следовательно,

.

Таким образом, W₁(0)=W(0)+1, а W₁()=W()+1=1+K, где K -коэффициент усиления разомкнутой системы.

- Предположим, что замкнутая система устойчива. Тогда при изменении  от нуля до + аргумент числителя изменится на n/2.

- При изменении  от нуля до + аргумент знаменателя изменится на минус n/2. Знак минус появляется вследствие нахождения многочлена L(j) в знаменателе (действительно - e^j/e^j=e^j(-)). Следовательно, изменение аргумента функции W₁(j) при изменении  от нуля до + будет равно нулю. Это уже фактически было показано выше: W₁(0)=W(0)+1, W₁()=W()+1=1+K – действительные, положительные числа.

Следовательно годограф W₁(j) не охватывает начало координат.

- Тогда годограф функции W(j)=W₁(j)-1 не охватывает точку (-1,j0), что и требовалось доказать.

Если амплитудно-фазовая частотная характеристика имеет "клювообразный" вид, то тогда числа положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) пересечений оси абсцисс должны быть равны. В этом случае система может оказаться неустойчивой как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления в системе. "Клювообразным" годограф может характерен для астатических систем со степенью астатизма r>2 [2]. В этом случае неустойчивость может возникнуть как при увеличении так и при уменьшении коэффициента усиления САР.

САР, которые устойчивы при значениях общего коэффициента усиления, лежащем в определенных пределах, называются условно устойчивыми. САР, которые устойчивы при любом значении общего коэффициента усиления, лежащем ниже некоторого максимально допустимого значения, называются абсолютно устойчивыми [2].

При использовании критерия устойчивости Найквиста необходимо убедиться в устойчивости разомкнутой системы. Неустойчивость разомкнутой САР может быть следствием наличия местных обратных связей. Проверка устойчивости местных замкнутых контуров может быть сделана с помощью любых критериев устойчивости (в том числе и с помощью критерия Найквиста). Другой причиной неустойчивости разомкнутой САР может быть включение в систему неустойчивых звеньев, например, неустойчивого колебательного звена и т.п. Вообще говоря, этого по возможности надо избегать, но в некоторых случаях это неизбежно. Так при разработке САР для магнитной подвески включение магнитной цепи с регулируемым зазором обязательно. Но это неустойчивое звено - чем меньше зазор тем, при отсутствии насыщения, больше сила притяжения.

С некоторыми усложнениями критерий Найквиста можно применять и к неустойчивым в разомкнутом состоянии САР [2].

Если САР астатическая, т.е. имеет интегрирующие звенья, то в разомкнутом состоянии она нейтральна, т.е. с течением времени не стремится к какому-то определенному положению (угол поворота оси двигателя остается произвольным при отсутствии напряжения на его входе). Сформулированный критерий справедлив и для этого случая, если вспомнить (см. Файл LINKS.DOC), что идеальное интегрирующее звено может быть получено из апериодического предельным переходом. При этом к годографу Найквиста надо добавить дугу окружности бесконечного радиуса (Рис.6).

Физический смысл критерия для простейших случаев (имеется ввиду т.н абсолютно устойчивые системы) совершенно очевиден: среди всех частот от =0 до = не должно быть ни одной частоты ₀, которая при замыкании САР поступит на вход усиленной по амплитуде ( и с фазовым сдвигом 180 градусов ( ₀()=  и точка -1+j0).

При 180-градусном сдвиге обратная связь на частоте ₀ превращается из отрицательной в положительную. Если к тому же модуль , то создаются условия для возбуждении колебаний на этой частоте.

Достоинством критерия Найквиста заключается в том, что для определения устойчивости САР можно использовать экспериментально полученные амплитудно-фазовые характеристики. Это ценно в случае, когда ввиду сложности системы или ее звена получить соответствующее дифференциальное уравнение не представляется возможным.

Из критерия Найквиста следует метод логарифмических частотных характеристик, который в ряде случаев позволяет оценить устойчивость и САР, качество регулирования и синтезировать корректиреющие звенья почти без вычислительной работы.

В случае многоконтурной САР ее размыкание для получения передаточной функции разомкнутой системы может быть сделано в произвольном месте. Если, однако, с системе имеется один вход и один выход, то при размыкании системы на входе первого звена получим главную передаточную функцию разомкнутой системы, связывающую входной и выходной сигналы. Именно эта передаточная функция рассматривается при определении качества регулирования и при синтезе корректирующих звеньев.

Годограф устойчивой в замкнутом состоянии САР позволяет оценивать и качество регулирования по запасам устойчивости по фазе и по усилению.

Запасом устойчивости по амплитуде (усилению) - это расстояние между критической точкой (-1,j0) и ближайшей к ней точкой пересечения годографа с отрицательной полуосью абсцисс. Для хорошо демпфированных систем этот запас более 6 дБ [4,5].

Запас устойчивости по фазе (₀ ) - это угол между вектором W(j_c) (_c - частота среза, W(j_с)=1) и отрицательной полуосью абсцисс.

Его определяют как угол ₀=180-₀(_с) градусов. В хорошо демпфированных системах этот угол лежит в пределах 30-60 градусов. Если на частоте среза фазовый сдвиг меньше 180 градусов, то говорят об избытке фазы [5]. В соответствии с заданными запасами устойчивости можно определить запретную область, которую не должен пересекать годограф.

Для условно устойчивых САУ запас устойчивость по модулю определяется с двух сторон - запас при увеличении и запас при уменьшении усиления.

В соответствии с критерием Найквиста фазовый сдвиг при частоте среза не должен быть равен 180 градусам. Если (_c)>-/2 (например, (_c)= -120 градусов), то говорят, что система имеет избыток фазы. Избыток фазы означает, что система допускает появление некоторого дополнительного запаздывания без потери устойчивости. Анализ ЛАЧХ и ЛФЧХ позволяет судить об устойчивости САР, запасах устойчивости, а так же, как это будет показано позже, синтезировать корректирующие звенья для улучшения качества регулирования.