Коэффициент передачи нелинейного элемента по первой гармонике

Определим коэффициенты гармонической линеаризации формулами преобразования Фурье:

Коэффициенты q₁ и q₂ соответствуют синфазной и ортогональной относительно входного гармонического сигнала составляющим. Существенной особенностью коэффициентов гармонической линеаризации является их зависимость от амплитуды сигнала на входе нелинейности, то есть

q₁ = q₁(a), q₂ = q₂(a).

Полученные соотношения - это комплексный коэффициент передачи нелинейности по первой гармонике

W₁ (a) = q₁(a) + jq₂ (a),

Амплитудная и фазовая характеристика нелинейного элемента по первой гармонике

Частотная передаточная функция по первой гармонике разомкнутой системы

Введение в теорию нелинейных сау

(по Попову “Динамика...”, стр. 92)

Устойчивость линейных САУ определяется знаком вещественных частей корней характеристического уравнения и не зависит от начальных условий. Если линейная система устойчива, то переходный процесс затухает.

В нелинейных системах:

- сам факт затухания или расхождения процесса зависит не только от параметров системы, но и от начальных условий;

- затухание процесса может происходить не до нуля, а расхождение не до бесконечности, при этом может изменяться общий характер протекающего в системе процесса (например, частота свободных колебаний, колебательный процесс может превратиться в апериодический и наоборот и т.п.);

- может иметь место неоднозначность установившегося состояния даже при отсутствии внешних воздействий.

Поэтому при анализе устойчивости нелинейной САУ необходимо оговаривать:

- относительно какого устойчивого состояния исследуется устойчивость системы (равновесного или периодического и какого именно);

- ограничения на рассматриваемые при анализе начальные условия.

Нелинейные звенья с однозначными и симметричными относительно начала координат характеристиками не вносят сдвига фаз первой гармоники, то есть для таких элементов q₂(a)  0.

Гармоническая линеаризация типовых звеньев

На рис.1 представлены характеристики нескольких часто встречающихся нелинейных звеньев.

Рис.1

Таблица

Тип звена	q1(a)	q2(a)
Идеальное релейное (Рис.1a)		0
Релейное с зоной не чувствительности (Рис.1b)		0
Насыщение (Рис. 1с)		0
Релейное с петлей гистерезиса (Рис1d)

В таблице приведены зависимости коэффициентов гармонической линеаризации некоторых нелинейных звеньев от амплитуды входного сигнала (a). На рис.2 представлены графики этих зависимостей q_i(a) (i=1,2) для идеального реле (рис.2a),для реле с зоной нечувствительности (рис.2b) и для реле с петлей гистерезиса (рис.2c и 2d) при параметрах нелинейностей b=1,c=1.

Рис.2

Часто оказывается необходимым учитывать нелинейности типа дискриминатора (например, при исследовании так называемый срывов слежения).

Расчет автоколебаний по критерию Найквиста.

Ограничимся случаем, когда передаточная функция нелинейности зависит только от амплитуды сигнала (вообще говоря, это не всегда так).

Передаточная функция по первой гармонике:

Система находится на границе устойчивости, т.е. в ней возможны незатухающие колебания, если для некоторой частоты (частоты автоколебаний) выполняется условие

.

Задаваясь различными значениями амплитуды первой гармоники (a) строим амплитудно-фазовую характеристику системы (годограф Найквиста). При некотором значении амплитуды (a = a1) при некоторой частоте (  ) годограф проходит через точку (-1, 0). Следовательно, в системе будут автоколебания на частоте  с амплитудой a1.

Остаются открытыми вопросы об устойчивости этих колебаний (не будет ли амплитуда увеличиваться с течением времени, т.е. устойчив ли соответствующий замкнутый цикл на фазовой плоскости), о существовании других решений и т.д.

Пример.

Нелинейность типа идеальное реле с выходным сигналом 1