С ау с идеальным реле и жесткой обратной связью

Структурная схема системы представлена на рис. 3. Частотная передаточная функция линейной части системы W(p), где p=d/dt – символ дифференцирования.

Нелинейное звено – идеальное реле. Полагая входной сигнал g тождественно равным нулю, получим

Введя обозначение dx/dt=y, получим

Отношение этих выражений не содержит в явном виде времени и определяет фазовый портрет системы:

При заданной функции F(x) задача построения фазовой траектории сводится к решению двух уравнений

.

Решения могут быть найдены в замкнутом виде.

Качественная картина приводится.

Дифференциальное уравнение изменяется при изменении знака F(x) на так называемой линии переключения. В данном случае линия переключения x=0 совпадает с осью ординат. По мере стягивания траектории к началу координат амплитуда колебаний неограниченно уменьшается, а частота – неограниченно возрастает.

Если реле имеет петлю гистерезиса, то возникает предельный цикл колебаний

Сау с идеальным реле и гибкой обратной связью

(Юревич, стр.214)

Структурная схема САУ представлена на рис.4.

Положим

Учтитывая, что для этого типа нелинейности справедливо равенство

F(-z)=-F(z).

можно записать уравнения, описывающие свободное движение системы (т.е. движение при g  0):

Последнее равенство формально следует из соотношений

Система уравнений может быть представлена в виде

Поделив второе уравнение на первое, получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий:

.

Рассмотрим частный случай, когда F(z)=sign(z) – идеальное реле. Тогда изменение сигнала на выходе нелинейного звена с F(z)=1 на F(z)=-1 произойдет в момент когда изменит знак z, т.е. когда z=0. Следовательно, уравнение линии переключения x+K_осy=0.

Такая линия переключения обеспечивает изменение знака ускорения до достижения координаты x=0, то есть с упреждением. Сказанное иллюстрируется графиками свободного движения САУ и ее фазовым портретом при отсутствии гибкой обратной связи (Рис.5a и 5b) и при наличии гибкой обратной связи с K_ос=0.002 (Рис.5с и 5d). Остальные параметры САУ: T=0.2с, K=100, c=10. Начальные условия: g0, x(0)=3, dx/xt_t=0=0.

На рис.5 ab - линия переключения. Как видно из сравнения рисунков b) и d) введение гибкой отрицательной обратной связи приводит

- к более раннему переключению и, вследствие, этого к уменьшению времени переходного процесса;

- к постепенному уменьшению угла между линией переключения и касательной к фазовой траектории так, что в после нескольких циклов переключения фазовая траектория сливается с линией переключения и наступает так называемый скользящий режим (Юревич, стр. 217), когда изображающая точка движется к началу координат вдоль линии переключения, совершая около нее малые колебания с большой частотой ( практически - по прямой).

Координата y, при которой наступает скользящий режим может быть определена для данного случая из следующих соображений.

Уравнение линии переключения x+K_осy=0, откуда

.

После пересечения отображающей точкой линии переключения (движение по часовой стрелке) функция

F(x+K_осy)=+1 при y>0,

F(x+K_осy)=-1 при у<0.

Тогда приравнивая в верхней полуплоскости

.

Откуда

,

x=-K_осy.

Размерность [K]=c^-1,[K_ос]=с, [T]=с, [y]=с^-1, что соответствует размерности скорости изменения безразмерной величины x. При T=K_ос в системе при любых начальных условиях сразу возникает скользящий режим (модель 1.mcd).