Амплитудные частотные характеристики замкнутой системы

1) Пусть частотная передаточная функция разомкнутой системы

,

(идеальное интегрирующее звено).

Передаточная функция замкнутой системы по возмущению

.

Идеальное интегрирующее звено, охваченное жесткой единичной обратной связью, имеет передаточную функцию апериодического звена.

2) Идеальное (пропорциональное) звено.

,

,

β – коэффициент обратной связи.

При β=1 и . Сигнал на выходе

3) Инерционное интегрирующее звено.

.

Передаточная функция замкнутой системы по возмущению

.

Амплитудная частотная характеристика замкнутой системы

Величина

называется показателем колебательности системы. Отметим, что обычно . Этот показатель характеризует качество переходного процесса в замкнутой системе и обычно лежит в пределах 1.1..1.5, хотя в некоторых случаях допускается величина до 2..2.5.

На рисунке:

ω_р – резонансная частота;

ω_с - частота среза (при ω>ω_c амплитуда сигнала на выходе системы меньше амплитуды входного сигнала);

ω_п – полоса пропускания системы.

6) Дифференциальное уравнение замкнутой системы

Частотная передаточная функция разомкнутой системы:

.

Частотна передаточная функция по задающему воздействию:

.

Передаточная функция замкнутой системы

,

.

Рассмотрим частный случай.

Частотная передаточная функция разомкнутой системы:

.

Производя замену jω→p, получим

.

После очевидных преобразований приходим к дифференциальному уравнению замкнутой системы:

,

Рассматриваемая система описывается дифференциальным уравнением третьего порядка.

Можно записать уравнение в виде

Полагая g₁(t)≡0 получаем характеристическое уравнение (характеристический многочлен) замкнутой системы:

,

.

Корни характеристического уравнения определяют свободное движение системы.

Правило Ишлинского :

Если в замкнутой системе высокого порядка между входной и выходной величиной существует единичная обратная связь, то в первом приближении эта система ведет себя как система второго или третьего порядка.

Поэтому особенное внимание в дальнейшем будет уделяться системе третьего порядка с единичной обратной связью.

Диаграмма Вышнерадского

Диаграмма дает полное представление о влиянии расположения корней характеристического уравнения на вид переходного процесса в системе третьего порядка.

В общем случае характеристическое уравнение системы

.

Разделим на a₃

и введем новую переменную

.

Обозначив , получим

.

Преобразования позволили сократить число коэффициентов характеристического уравнения до двух и изобразить характерные области на плоскости AB:

Желтая зона – зона неустойчивости системы третьего порядка.

7) Устойчивость сау

Необходимым, но не достаточным, условием устойчивости САР является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения системы (если все коэффициенты отрицательны - умножением на минус единицу их можно сделать положительными). Если не все коэффициенты положительны, то система неустойчива и никакие дополнительные исследования не требуются.

Это условие является достаточным для систем первого и второго порядка.

Определение устойчивости линейной невозмущенной системы, то есть системы, при нулевом входном сигнале (g(t)0).

Линейная невозмущенная система ([29], стр. 60):

Система устойчива, если при конечном начальном отклонении выходной сигнал остается ограниченным для любого t>0:

, где M – некоторая положительная постоянная величина.

Под начальным отклонением понимаются ненулевые начальные условия системы.

Система асимптотически устойчива, если при конечном начальном отклонении выходной сигнал с течением времени обращается в нуль:

.

Система неустойчива, если при произвольно малых начальных отклонениях, выходной сигнал с течением времени неограниченно растет:

.

Интегрирующее звено сохраняет начальное отклонение. Это звено устойчиво, но не асимптотически устойчиво.

Система, возмущенная действием входных сигналов из заданного множества, устойчива, если выходной сигнал остается ограниченным для всех сигналов этого множества.

Под действием постоянного, отличного от нуля, сигнала на входе интегратора (g(t)=const) сигнал на его выходе неограниченно возрастает. Такой сигнал не должен входить в заданное множество.

Определения устойчивой системы и асимптотически устойчивой системы можно объединить ([1], с. 84) одним определением, если рассматривать не координату системы, а только собственное (свободное) движение системы:

Под устойчивостью линейной системы понимают свойство затухания переходного процесса с течением времени.

Если x(t) - решение уравнения, описывающего свободное движение системы:

,

то для устойчивой САУ x_собств (t)0 при t.

Необходимое условие устойчивости - положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. При n3 оно недостаточно. Как будет показано ниже на ряде примеров уже САУ третьего порядка (n=3) может оказаться неустойчивой и при положительных коэффициентах дифференциального уравнения.

Если _i = _i + _i (i=1…n) - корни характеристического уравнения

,

то система устойчива, если корни характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости комплексного переменного  ( _i < 0 ).

Это очевидно (если нет кратных корней) из равенства

.

Следуя [7], будем называть такой многочлен устойчивым.