2.2 Синусоидальные решетчатые функции

Рассмотрим свойства синусоидальных решетчатых функций x_s[n]=Asin(nT+), образованных из производящих функций вида

x(t)=Asin(t+).

Если период дискретности T и T₁=2/ - соизмеримые числа, то последовательность x_s[n] - периодическая, в противном случае - непериодическая.

Амплитуда A - не обязательно максимальное значение последовательности, а лишь верхнее значение, которое может быть достигнуто. Например, если =_T=2/T (период синусоидального сигнала равен периоду дискретности), то nT=2n и

x_s[n]=Asin=const.

В частности, при =0 x_s[n]0. Решетчатая функция не изменится, если заменить f=/2 на f+kf_T, где k - целое, f_T=T^-1 - циклическая частота дискретности. Действительно,

.

Отсюда следует важный вывод:

В ДВ-системах невозможно различить две частоты, разность между которыми f=mf_T=m2/T, m - целое.

Отсюда следует, что меняя частоту входного воздействия от нуля до _T, можно фактически охватить весь диапазон частот входных сигналов ДВ-системы.

Более того, оказывается достаточно проводить исследования в диапазоне частот от нуля до _T/2 (0    _T/2). Для того, чтобы показать это, определим две частоты входного сигнала симметрично относительно частоты _T :

Покажем, что

Действительно,

Равенство очевидно.

Это означает, что входные сигналы одинаковой амплитуды, имеющие частоты симметричные относительно частоты _T/2 после дискретизации с периодом T дают решетчатые функции, которые отличаются только знаком. Поэтому достаточно изучать свойства ДВ-систем на интервале частот от нуля до _T/2.

Полученный результат аналогичен тому, что для исследования непрерывной системы достаточно изменять частоту  в интервале от нуля до +, вместо интервала от - до +. При этом  для непрерывных систем соответствует /T для дискретных систем.

Синусоидальная последовательность может быть записана в символической форме

x_s[n]=ae^jnT,

где a=aexp(j) - комплексная амплитуда. Как и в непрерывном случае x_s[n]=Im(x_s[n]).

Вводя обозначение z=exp(jT), получим

x_s[n]=azⁿ.

Дополнение.

Представив сигнал в экспоненциальной форме, получим сразу

Это и показывает, что

• Входные сигналы одинаковой амплитуды, имеющие частоты симметричные относительно частоты _T/2 после дискретизации с периодом T дают решетчатые функции, которые отличаются только знаком. Поэтому достаточно изучать свойства ДВ-систем на интервале частот от нуля до _T/2.

- В ДВ-системах невозможно различить две частоты, разность между которыми = k2/T, k - целое.

2.3 Прямые и обратные разности

Для решетчатых функций определены понятия аналогичные производной и интегралу для непрерывных функций. Аналог первой производной непрерывной функции для решетчатой функции является либо первая прямая разность [5].

f[n]=f[n+1]-f[n]

либо первая обратная разность

f[n]=f[n]-f[n-1].

Выражение для обратной первой разности легко получить заменой в прямой первой разность n на n-1.

Для определения прямых разностей требуется знание текущего значения решетчатой функции (f[n]) и ее будущих значений. Обратные разности, в отличие от прямых, требуют для определения текущего значения решетчатой функции и ее прошлых значений (f[n-m], m>0). Поскольку в большинстве практических задач будущие значения неизвестны, в дальнейшем, будем рассматривать обратные разности.

Вторые разности (аналог второй производной непрерывной функции)

²f[n]= f[n]- f[n-1].

Развернутое выражение для обратной второй разности:

²f[n]= f[n]- f[n-1]={f[n]-f[n-1]}-{f[n-1]-f[n-2])=f[n]-2f[n-1]+f[n-2].

В общем виде для прямые и обратные разности k-го порядка вычисляются по формулам [5]

C_k^ - биномиальные коэффициенты.

Если f[n] 0 при n<0, то в точке n=0 обратная разность любого порядка (k>0)

.

Неполная сумма и полная сумма - аналоги интеграла непрерывной функции. Разница между ними в том, что в полную сумму входит и f[n].

_^(s)- передаточная функция замкнутой чисто импульсной системы по ошибке, ^(s) - передаточная функция замкнутой чисто импульсной системы по сигналу. Соответствующие частотные передаточные функции получается заменой в частотных передаточных функциях s на j.

Существует большое разнообразие структурных схем ДВ-систем, отличающихся местом включения импульсных элементов и передаточными функциями.