Глава 9. Практика применения математических методов в выборе управленческих решений

9.1. Задачи теории полезности и подход Байеса

Теория полезности – одно из направлений развития методов принятия решений. Смысл данного термина заключается в непротиворечивом количественном описании предпочтений качественных явлений (полезности) и в построении методом логической дедукции полезности сложных комплексов явлений и событий.

Принимая решение, руководитель должен выбрать для достижения цели какую-либо возможную линию поведения.

В условиях "риска", принимая решение, исходят из того, что некоторые цели, характеризуемые с различной степенью нежелательности, достигаются с различной степенью достоверности при различных линиях поведения. При этом конкретная линия поведения имеет вероятность успеха несколько меньше единицы.

Реализация любого решения всегда связана с определенными затратами (денежными, материальными и т.п.), которые можно выразить в количественной форме. Но реализация решения иногда вызывает и другие, не менее важные потери, которые не имеют количественного выражения: сни­жение авторитета руководителя, нарушение контактов в коллективе, моральные издержки, конфликты и т.п.

Теория полезности предусматривает, что результаты какого-либо решения, действия измеряются одним приведенным показателем, называемым полезностью. Полезность рассматривается как некоторого рода обобщенные потери или выигрыш, когда все ценности приведены к одной шкале. На этой шкале можно найти точку, отвечающую определенному событию или исходу.

Полезность измеряют в произвольных единицах, называемых единицами полезности, которые можно связать с другими единицами, например, денежными. Эта связь и определяет величину полезности для каждого ЛПР. Человек выбирает тот вариант, который максимизирует полезность в его понимании. Относительные полезности для каждого лица являются измеримыми, а абсолютные – нет.

Функция полезности определяется в соответствии с правилом: если человек, принимающий решение, безразличен к выбору между двумя вариантами, то ожидаемая полезность одинакова. ЛПР обычно учитывает установленную им важность различных результатов решений.

В некоторые решения входят одновременно количественные и качественные оценки значимости. Например, какую производственную программу целесообразно принять для предприятия? Более напряженную, дающую возможность значительно увеличить прибыль, при условии, что вероятность выполнения напряженной программы - 90 %, или менее напряженную программу, вероятность выполнения которой – 100 %. При выборе вариантов таких решений необходимо учитывать, по возможности, все существенно влияющие факторы, в частности, моральный ущерб при невыполнении плана, как для коллектива, так и для руководителей.

На выбор варианта решения сильное влияние оказывают личные качества руководителя, ведь именно от него зависит выбираемый критерий оценки решений и их предпочтительности.

Простейший пример. Вы идете в институт и размышляете: брать с собой плащ (вариант а₁) или не брать (вариант а₂). На ваш выбор, безусловно, будут влиять объективные усло­вия: будет дождь (v₁) или нет (V₂), и поэтому на основе прогноза и оценки ситуации вы из окна определяете (примерно) вероятность дождя.

Предположим, вероятность дождя P(V₁) = 0,3, тогда вероятность хорошей погоды P(V₂) = 0,7. Теперь вы должны дать оценку потерь, т.е. тех неудобств, которые возникнут при различном сочетании вашего решения и погодных условий.

Эта оценка не будет одинаковой у разных людей. Один считает, что оказаться без плаща под дождем очень большая неприятность, лучше иметь плащ даже в солнечную погоду, а другие наоборот. Большинство людей будет иметь какое-то среднее мнение.

При первом варианте а₁ (взять плащ) в случае дождливой по­годы оценим неудобство показателем а₁₁ = 1, так как во время кратковременного пребывания на улице дождя может и не быть. Для случая, когда дождя вообще не будет, оценим неудобство показате­лем а₁₂ = 2.

При варианте а₂ (не брать плащ), когда дождь может испортить костюм, оценим показателем а₂₁ = 7, а для случая, когда дождя не будет (не будет и потерь) а₂₂ = 0.

Составим матрицу (табл. 6.5) и выполним кое-какие математические действия.

Таблица 6.5.

Матрица линий поведения и объективных условий

Линия поведения	Объективные условия
	Дождь	Нет дождя
Взять плащ, а1 Не брать плащ, а2	1 7	2 0

Математическое ожидание при выборе каждой линии поведения определяется из выражения:

. (6.17)

М_а1 = 0,3  1 + 0,7  2 = 1,7;

М_а2 = 0,3  7 + 0  2 = 2,1.

Таким образом, чтобы минимизировать ожидаемые потери, необходимо выбрать первую линии поведения (взять плащ).

Кроме указанного метода часто используется более простой подход данной теории, применяя метод максимальной ожидаемой полезности:

П = (В_у • О_у) - (В_н • П_н), (6.18)

где П – ожидаемая полезность от принятого решения,

В_у – вероятность успеха (удачи),

О_у – оценка успеха,

В_н – вероятность неудачи,

П_н – потери от неудачи.

Точность ожидаемой полезности, конечно, будет далеко не абсолютной, но позволит примерно сопоставить варианты по критерию полезности и принять вполне значимое практическое решение.

Подход Байеса в принятии решений базируется на разделах теории вероятностей и может применяться в условиях риска, неполной информации и неопределенности. Сущность данного подхода заключается в следующем.

На основе своего опыта, знаний, интуиции ЛПР делает предположение относительно возникновения различных ситуаций и их влияния на процесс производства, но его предположения могут значительно отличаться от суждений других специалистов. Применение байесовского подхода позволяет в таких случаях упорядочить различные мнения, выразить количественно имеющуюся неопределенность и на основе этого сделать выводы, которые можно считать вполне приемлемыми /3/.

Метод стоимость-эффективность. Данный метод нашел широкое применение в западных странах под названием “затраты - выгоды”. Он включает в себя три этапа:

1 - построение модели эффективности,

2 - построение модели стоимости,

3 - синтез стоимости и эффективности. (Рис. 6.4).

Рис.6. 4. Модель “Стоимость - эффективность”

С помощью этих моделей можно, например, определить эффективное количество выпускаемой продукции по стоимости. Модель стоимости - зависимость общей стоимости выпускаемой продукции от ее количества.

Модель эффективности - зависимость вероятности реализации продукции от ее количества.

Обе модели расцениваются как объективные. Они строятся на базе фактических данных, надежного статистического материала. Однако, выходные параметры этих моделей не объединяются посредством заданной зависимости. Иногда используется суждение руководителя, который определяет предельные значения стоимости, необходимые значения эффективности.

Сопоставив (синтезируя) обе модели, ЛПР принимает окончательное решение.