Лабораторная работа 2.8

Определение логарифмического декремента затухания

при колебаниях маятника

Теоретические сведения

Наблюдая колебания маятника, мы замечаем, что амплитуда его с течением постепенно времени убывает, колебания затухают. Это затухание происходит из-за сопротивлений, препятствующих движению маятника. Основным сопротивлением является трение в точках подвеса маятника, а также трение о воздух.

Часть энергии колеблющегося маятника расходуется на работу по преодолению сил сопротивления, а потому смещение его от положения равновесия с течением времени уменьшается по закону:

, (1)

где х  смещение от положения равновесия в момент времени е;

А  начальная амплитуда колебаний;

е  основание натурального логарифма;

 коэффициент затухания;

w  угловая частота колебаний ( , Т− период)

начальная фаза колебаний.

Выражение представляет собой амплитуду затухающего колебания в произвольный момент времени t.

Найдем отношение амплитуд двух последующих колебаний. Иначе говоря, найдем отношение их значений в момент времени t₁ и t₁ + Т, где Т  период колебаний:

,

или в общем виде отношение nй амплитуды к (n+1)й:

. (2)

Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом (nй амплитуды к (n +1)й амплитуде) через период Т называется логарифмическим декрементом затухания :

. (3)

Выясним физический смысл величин  и . Обозначим через  промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в e раз (e = 2,71828). Тогда

,

где А_N  амплитуда колебания маятника через время , причем:

т.е. . (4)

Коэффициент затухания  есть физическая величина, обратная времени , в течение которого амплитуда убывает в е раз. Логарифмический декремент затухания характеризует убывание амплитуды колебаний за один период.

Пусть N  число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз. Тогда

.

(5)

Логарифмический декремент затухания  − физическая величина, обратная числу колебаний N, по истечении которых амплитуда убывает в е раз.

Описание приборов

Для определения декремента затухания в работе применен маятник на двух подвесах длиной в 1,52 м (рис. 1).

Рис. 1

Бифилярный подвес использован для того, чтобы получить колебания маятника в одной плоскости. Для увеличения затухания маятника на нем имеется диск, закрепленный так, что его плоскость перпендикулярна плоскости качания маятника.

Время измеряется обычным секундомером с точностью до 0,2 с.

Измерения амплитуд колебаний маятника ведут по шкале, расположенной внизу маятника.

Порядок выполнения работы

Период колебания маятника при малом коэффициенте затухания практически не зависит от амплитуды. Чтобы убедиться в этом, отклоняют маятник от положения равновесия на 1025 см. После 25 колебаний в момент прохождения указателя маятника через положение равновесия пускают секундомер и, начиная от нуля, ведут счет полных колебаний. Так определяют время 1020 полных колебаний маятника.

Зная время и количество полных колебаний, находят период колебаний по формуле:

,

где t₁  время в секундах; n  число полных колебаний.

Когда амплитуда колебаний достигнет 510 см, снова повторяют определение периода колебаний, т.е. находят время t₂ при n полных колебаниях (столько же полных колебаний, как и в первом случае), и определяют период Т₂ по той же формуле. Периоды Т₁ и Т₂ не должны отличаться более, чем на тысячные доли секунды. Данные измерений заносят в таблицу 1.

Таблица 1

№	n	t, с	Т, с
1. 2. …
среднее

Когда известен период колебаний, находят амплитуды колебаний. Амплитуды колебаний определяют только по одну сторону от положения равновесия (допустим, правые). Для этого отклоняют маятник на 2025 см и начинают последовательно определять по шкале амплитуды , (всего 30 амплитуд).

Зная период колебаний и амплитуды, строят график зависимости амплитуды от времени (на миллиметровой бумаге). Рекомендуется время (периоды колебаний) откладывать на оси абсцисс в масштабе один период равен 5 мм, а амплитуды – по оси ординат в масштабе 1:1 мм.

Таким образом получим графическую зависимость амплитуды от времени колебаний.

После построения графика рассчитывают логарифмический декремент затухания по формулам:

Здесь ln  натуральный логарифм.

При пользовании таблицами десятичных логарифмов необходимо пользоваться множителем перехода, т.е.

где lg  десятичный логарифм.

Из пяти значений логарифмического декремента затухания определяют _ср и .

Зная _ср и Т, определяют коэффициент затухания . После этого записывают аналитический закон изменения амплитуды в виде:

Контрольные вопросы

1. Какие колебания называются затухающими?

2. Напишите уравнение затухающих колебаний.

3. Что называется логарифмическим декрементом затухания?

4. Как изменится характер колебания маятника, если его поместить в воду?

лабораторная работа 2.9

Определение скорости звука в твердом теле

и в воздухе.

Приборы и принадлежности: генератор типа ЗГ-34, магнитострикционный преобразователь, стеклянная трубка с вмонтированным внутрь отражателем волн, мелкий дисперсный порошок, пипетка с водой.

Теоретические сведения

Упругие колебания, распространяющиеся в сплошных средах частотой от 20 до 210⁴ Гц, называются звуковыми волнами. Среда, в которой могут распространятся звуковые колебания, может быть твердой, жидкой и газообразной. При распространении звуковых волн в среде обладающей упругими свойствами, каждая колеблющаяся частица вещества, вследствие упругости, стремиться вернуться в начальное положение. За счет наличия сил упругости частицы вещества колеблются около положения равновесия и совершают колебания определённого вида. Характер этих колебаний зависит от вида траекторий, по которым движутся частицы вещества под действием звуковой волны. Если частицы вещества колеблются по направлению распространения звуковой волны, образуя чередующиеся области сжатия и разрежения, то такая волна называется продольной, а если частицы вещества колеблются в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны, то такая волна называется поперечной. Звуковые волны могут также распространяться и по поверхности тела. Такие волны называться поверхностными или волнами Релея.

В газах и жидкостях, за исключением очень вязких, могут распространяться только продольные волны. Скорость распространения продольных волн в жидкостях и газах определяется плотностью и упругими свойствами этих сред:

, (1)

p – давление; ρ – плотность; ; , – теплоемкость при постоянном давлении и объёме.

В твердом теле, кроме продольных волн, могут распространяться как поперечные, так и поверхностные волны. Скорость продольной волны в твердом теле зависит от соотношения между длиной волны и поперечными размерами тела. Если длина волны значительно больше поперечных размеров образца (тонкий стержень), то его удлинение в продольном направлении сопровождается сжатием в поперечном направлении. Скорость распространения продольных колебаний определяется по выражению

, (2)

где Е – модуль продольной упругости (модуль Юнга).

При поперечных размерах образца, сравнимых с длиной волны, распространяются сдвиговые или поперечные волны. Скорость таких волн определяется из формулы

, (3)

где G – модуль сдвига.

Соотношение между скоростями распространения продольных и поперечных волн приближенно равно

. (4)

В протяженной среде могут также существовать волны, распространяющиеся по поверхности тела и почти не проникающие в глубь. Это поверхностные волны. Скорость распространения поверхностных волн определяется выражением

. (5)

Таким образом, определяя экспериментальным путём скорость распространения звуковых волн, можно судить о многих физических свойствах данного вещества, таких как плотность, вязкость, давление, температура, концентрация, теплоёмкость, модуль сдвига, коэффициент упругости и т. д. В данной лабораторной работе экспериментально измеряется скорость звука в твердом теле и воздухе и определяется плотность вещества, в котором распространяются эти волны.

Описание прибора

Лабораторная установка (рис. 1) состоит из следующих частей: звукового генератора ЗГ-34, магнитострикционного излучателя и стеклянной трубки с поршнем.

Рис. 1

Генератор создает электрические колебания частотой до 20 кГц, которые даются на магнитострикционный излучатель. Магнитострикционный излучатель состоит из индуктивности 1 ферритового стержня 2, на котором посередине иметься резиновое колечко 3 для крепления в корпусе катушке и кольцевых магнитов 4. Кольцевые магниты служат для подмагничивания системы, благодаря чему достигается совпадение частоты колебаний ферритового стержня с частотой изменения магнитного поля и поэтому амплитуда колебаний увеличивается. Магнитострикционный излучатель укреплен на шарнире, который обеспечивает при установке его в горизонтальном положении осей феррита и стеклянной трубочки.

Намагничивание стержня приводит к возникновению упругих напряжении и деформаций, вызывающих изменения его геометрических размеров (магнитострикционный эффект), меняющихся в соответствии с изменением величины переменного магнитного поля. В результате начинает совершать продольные механические колебания. Собственная частота этих колебаний равна .

Используя выражение (2), получим

, (6)

где   длина волны.

Учитывая, что резонанс в стрежне наступает только в том случае, когда длина стержня l рана целому числу длин полуволн (в нашем случае n = 1, а так как , то

. (7)

Значение l указано на установке. момент возникновения резонанса можно достаточно точно фиксировать по интенсивности распыления капли воды, нанесенной на торец стержня, расположенного в вертикальном положении, или по измерительному прибору генератора, который покажет минимальное отклонение стрелки. Определив экспериментальным путём скорость продольных волн в стержне, можно вычислить плотность ферритового стержня, если известен модуль Юнга для данного феррита:

. (8)

Модуль Юнга для феррита равен: Е = 11,510¹⁰ Н/м².

Для определения скорости звука в воздухе используем генератор, настроенный в резонанс с магнитострикционным преобразователем, и стеклянную трубочку с встроенным внутрь перемещающимся отражателем. Если конец феррита вставить внутрь трубочки и при неизменной частоте генератора, равной f_рез, изменять расстояние от торца феррита до отражателя, то в трубке можно наблюдать резонанс столба воздуха. Колебания от магнитостриктора передаются столбу воздуха без изменения частоты. Они распространяются вдоль трубки к поршню В (рис. 2), отражаются от него и идут к торцу излучателя А. Волны, бегущие от излучателя накладываются на отраженные, и возникает стоячая волна.

Рис. 2

Стоячая волна правильной формы образуется только в том случае, если расстояние между А и В будет равно целому числу полуволн ( ). Для создания этого условия передвигают отражатель В. Чтобы обнаружить стоячие волны в воздухе, в трубку насыпают лёгкий порошок, который и воспроизводит картину этих волн. Частицы порошка скапливаются в узлах стоячей волны, а в пучностях образуются тонкие пленки из мелких частиц порошка. Расстояние между пучностями измеряют линейкой, укрепленной на стеклянной трубке. Если длинна участка трубки между двумя выбранными пучностями L, и на этом участке уложилось n полуволн (пучностей), то длинна волны равна

.

Зная резонансную частоту f_рез, можно найти скорость ультразвука в воздухе

. (9)