1.2. Прямые измерения

Проведя серию из n измерений физической величины в одинаковых условиях, получили ряд ее значений: х₁, х₂, …х_n. Наиболее достоверное значение измеряемой величины получается как среднее арифметическое:

. (3)

Как уже говорилось, при достаточно большом количестве повторных наблюдений погрешности, завышающие и занижающие значение измеряемой величины будут встречаться одинаково часто и при суммировании скомпенсируют друг друга. Поэтому среднее арифметическое значение измеряемой величины в серии прямых наблюдений и принимается за наиболее достоверное ее значение и рассматривается как конечный результат прямого измерения. Причем, чем больше число повторных наблюдений n, тем ближе х_изм к истинному значению х_ист.

В общем случае оценка погрешности включает в себя:

1. учет систематической погрешности;

2. оценку случайной погрешности;

3. оценку приборной погрешности;

4. оценку погрешности вычисления (округления);

5. оценку полной погрешности измерения.

1. Систематическая погрешность устраняется введением поправки, если известны величина и знак погрешности.

Тогда исправленная величина:

.

Поправку можно вносить в результат отдельных наблюдений или в среднее значение измеряемой величины .

Если величина поправки заметно меньше любой погрешности, вызванной другими причинами (скажем, не превышает 0,1 доли), то ею можно пренебречь.

2. Характерной особенностью случайной погрешности является ее непредсказуемость ни по знаку, ни по величине в каждом конкретном наблюдении. Тем не менее, при достаточно большом числе опытов становится очевидным, что изменение случайной ошибки все же подчиняется какому-то закону, а именно, носит статистический характер. Математическое обоснование этих законов производится в теории ошибок с применением аппарата теории вероятностей. В нашем случае целесообразно остановиться лишь на их кратком рассмотрении и применении.

Итак, после n повторных наблюдений, имеем результаты х₁, х₂ … х_n. Наиболее достоверное значение определяется соотношением (3).

Случайное отклонение i-того наблюдения от среднего:

. (4)

При достаточно большом количестве наблюдений распределение оказывается симметричным относительно нулевого значения. При этом с вероятностью 68% все случайные отклонения лежат в некотором интервале:

,

где  – стандартное отклонение. Для интервала вероятность равна 95%, а для она составляет 99,7 %.

В общем случае для любого значения вероятности Р доверительный интервал определяется числовым множителем .

Иначе говоря,

.

Статистическое отклонение  характеризует ожидаемую ошибку единичного наблюдения. Оно примерно равно средней квадратичной погрешности единичного наблюдения S, которое вычисляется следующим образом:

. (5)

Средняя квадратичная погрешность окончательного результата опыта:

. (6)

В этом случае полуширина доверительного интервала .

Поскольку на практике нет возможности проводить большое число наблюдений одной и той же величины, то коэффициент заменяют другим коэффициентом , который зависит не только от доверительной вероятности Р, но и от числа наблюдений n. Он называется коэффициентом Стьюдента (см. таблицу 1).

Таблица 1. Коэффициенты Стьюдента

	Р = 0,5	Р = 0,9	Р = 0,95	Р = 0,99
n = 2	1,60	6,31	12,7	63,7
n = 3	0,82	2,92	4,30	9,92
n = 4	0,77	2,35	3,18	5,94
n = 5	0,74	2,13	2,78	4,60
n = 6	0,73	2,02	2,57	4,03
n = 7	0,72	1,94	2,45	3,71
n = 8	0,71	1,89	2,36	3,50
n = 9	0,71	1,86	2,31	3,36
n = 10	0,70	1,83	2,26	3,25
n = 15	0,69	1,76	2,14	2,98

Тогда окончательно для расчета случайной погрешности прямых измерений получаем формулу:

. (7)

Относительная случайная погрешность:

. (8)

3. Приборная погрешность, или погрешность измерительных средств, подразделяется на основную и дополнительную.

Основная – это предельно допустимая абсолютная или относительная погрешность, установленная ГОСТом для заводов-изготовителей измерительных средств.

Дополнительная – это погрешность, возникающая в результате эксплуатации или неисправности прибора. Такая погрешность должна быть устранена или на нее нужно ввести поправку.

Предельная погрешность указывается на приборе и в его паспорте. Для одних приборов стандартом задается предельная абсолютная погрешность  (таблица 2), для других – предельная относительная погрешность (класс точности) k.

Таблица 2. Значения предельной абсолютной погрешности.

Приборы и меры	Значение меры	Предельная погрешность 
Линейка металлическая	150, 300, 500 мм	0,1 мм
Линейка металлическая	1000 мм	0,2 мм
Линейка деревянная	200, 250, 300 мм	0,1 мм
Линейка деревянная	400, 500, 750, 1000 мм	0,5 мм
Линейка пластмассовая	200, 250, 300 мм	1 мм
Гири	10, 20, 50, 100 мг	1 мг
Гири	200 мг	2 мг
Гири	500 мг	4 мг
Гири	1 г	6 мг
Гири	2 г	8 мг
Гири	5 г	12 мг
Мензурка 2-го класса	100, 200 см^3	5 см^3
Продолжение таблицы 2
Штангенциркуль с ценой деления 0,1 мм	0 – 155 мм	0,1 мм
Штангенциркуль с ценой деления 0,05 мм	0 – 200, 0 – 250, 0 - 350 мм	0,05 мм
Микрометр с ценой деления 0,01 мм	0 – 25, 25 – 50, 50 – 75 мм	4 мкм
Весы лабораторные	5 – 100, 10 – 200 г	3 цены деления шкалы
Секундомер технический	30 – 60 мин	1,5 цены деления шкалы за один оборот секундной стрелки
Секундомер электрический	30 мин	0,5 цены деления шкалы за один оборот секундной стрелки
Термометр стеклянный жидкостный	От 20 до 100 ^0С	Одна цена деления шкалы, если она равна 1, 2, 5 Кельвин; или две цены деления шкалы, если цена деления шкалы равна 0,2; 0,5 Кельвин.

Класс точности измерительного прибора – это выраженное в процентах отношение предельной абсолютной погрешности прибора  к максимальному значению измеряемой величины:

. (9)

Для электроизмерительных приборов существуют следующие классы точности: 0,02, 0,05, 0,1, 0,2, 0,5, 1,0, 2,5, 4,0.

Если класс точности не указан, то погрешность прибора больше 4%.

Если известен класс точности прибора, то его абсолютная погрешность:

. (10)

Абсолютная погрешность и класс точности прибора задаются с доверительной вероятностью Р = 99,7 %. Значит, приборная погрешность для наиболее используемой в лабораторном практикуме доверительной вероятности Р = 95 % определяется следующим образом:

. (11)

В тех случаях, когда класс точности прибора неизвестен, абсолютная погрешность принимается равной половине цены деления шкалы прибора.

Относительная приборная погрешность равна:

(12)

(13)

Из последней формулы видно, что относительная погрешность, в отличие от абсолютной, зависит от значения измеряемой величины: чем она ближе к максимальной , тем меньше относительная погрешность. Следовательно, по возможности желательно выбирать для измерений такой прибор, чтобы измеряемая величина стремилась к предельному значению.

4. Погрешность округления (погрешность отсчета) возникает вследствие округления результатов приборов.

Интервал округления равен цене деления шкалы прибора, если отсчет снимается с точностью до целого деления, или половине цены деления, если отсчет округляется до половины цены деления.

Очевидно, что максимальная погрешность округления в любом случае не превышает половину цены деления шкалы прибора (например, любое показание между 5,5 и 6,4 при округлении до целых равно 6, т.е. разность между принятым отсчетом и показанием прибора не превышает 0,5).

Таким образом, для доверительной вероятности Р абсолютная погрешность округления равна:

, (14)

а относительная погрешность:

. (15)

5. Поскольку систематическая погрешность учитывается введением поправки, то полная абсолютная погрешность прямого измерения равна:

, (16)

а полная относительная погрешность:

(17)

Доверительная вероятность Р выбирается одинаковой для всех суммируемых погрешностей, такой же она будет и для полной погрешности.

Примечание. Если одна из слагаемых погрешностей в три и более раза меньше других, ею можно пренебречь, поскольку вклад такой погрешности в общую сумму незначительный.