37.Законы теплового излучения. Закон Ст.-Больцмана.

Закон Стефана — Больцмана. Плотность потока собственного интегрального излучения абсолютно черного тела можно найти на основании закона Планка как суммарную энергию излучения тела по всем длинам волн .

(11.13)

В результате интегрирования найдём ,

(11.14)

где с0=5,67 Вт/(м² ·К⁴ ) — коэффициент излучения абсолютно черного тела. Индекс «О» указывает на то, что рассматривается излучение абсолютно черного тела. Этот закон опытным путем найден Стефаном и теоретически обоснован Больцманом задолго установления закона Планка.

Спектры излучения реальных тел отличны от спектра излучения абсолютно черного тела. При этом спектральная интенсивность излучения тела на любой длине волны никогда не превышает соответствующую спектральную интенсивность излучения абсолютно черного тела. В случае селективного спектра излучения на некоторых участках длин волн интенсивность излучения равна нулю. Частным случаем реальных тел являются серые тела, спектр излучения которых подобен спектру излучения абсолютно черного тела. Интенсивность излучения для каждой длины волны серого тела Jλ составляет одну и ту же долю интенсивности излучения черного тела J0λ, то есть .

(11.15)

Здесь величина ε — степень черноты тела, зависящая от физических свойств тела, но всегда ε<1. Большинство реальных тел с определенной степенью точности можно считать серыми. Закон Стефана — Больцмана для серого тела с учетом выражения (11.15) имеет вид: ,

(11.16)

где с — коэффициент излучения серого тела.

38,Закон смещения Вина.

Кривые потока излучения абсолютно чёрных тел с разной температурой. Наглядно можно увидеть, что возрастании температуры максимум излучения сдвигается в ультрафиолетовую часть спетра (в область коротких длин волн). Именно эту особенность и описывает закон Вина.

Закон смещения Вина даёт зависимость длины волны, на которой поток излучения энергии чёрного тела достигает своего максимума, от температуры чёрного тела.

Общий вид закона смещения Вина

где T — температура в кельвинах, а — длина волны с максимальной интенсивностью в метрах. Следует отметить, что коэффициент b, называемый постоянной Вина, и имеющий значение , в данной формуле имеет при этом размерность [ м К].

Для частоты света (в Герцах) закон смещения Вина имеет вид:

где α ≈ 2.821439... Гц/К — постоянная величина, k — постоянная Больцмана, h — постоянная Планка, T — температура (в Кельвинах).

Вывод закона

Для вывода можно использовать выражение закона излучения Планка для абсолютно чёрного тела, записанного для длин волн:

Чтобы найти экстремумы этой функции в зависимости от длины волны, её следует продифференцировать по и приравнять дифференциал к нулю:

Из этой формулы сразу можно определить, что производная приближается к нулю, когда или когда , что выполняется при . Однако, оба эти случая дают минимум функции Планка , которая для указанных длин волн достигает своего нуля (см. рисунок вверху). Поэтому анализ следует продолжить лишь с третьим возможным случаем, когда

Используя замену переменных , данное уравнение можно преобразовать к виду

Численное решение этого уравнения даёт[1]:

Таким образом, используя замену переменных и значения постоянных Планка, Больцмана и скорости света, длина волны, на которой интенсивность излучения абсолютно чёрного тела достигает своего максимума, определяется как ,

где температура дана в Кельвинах, а — в метрах.

39.Формула Рэлея-Джинса.

Закон Рэлея-Джинса — закон излучения Рэлея-Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела и для испускательной способности абсолютно чёрного тела который получили Рэлей и Джинс, в рамках классической статистики (теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы и представление об электромагнитном поле как о бесконечномерной динамической системе).[1][2][3]

Правильно описывал низкочастотную часть спектра, при средних частотах приводил к резкому расхождению с экспериментом, а при высоких — к абсурдному результату (см. ниже), означавшему неуд

Вывод формулы

Зависимость испускательной способности абсолютно черного тела от длины волны для разных температур (выделены цветом) и её вид, исходя из классических рассуждений Релея и Джинса (черный цвет)

Основываясь на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, складываемая из двух частей kT. Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую — магнитная. Само по себе, равновесное излучение в полости, можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве дается выражением: .

В нашем случае скорость следует положить равной , более того, в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, тогда (1) в добавок следует помножить на два: .

Релей и Джинс каждому колебанию приписали энергию . Помножив (2) на ,получим плотность энергии, которая приходится на интервал частот : ,

тогда: .

Зная связь испускательной способности абсолютно черного тела с равновесной плотностью энергии теплового излучения , находим:

Выражения (3) и (4), называют формулой Релея-Джинса.