15.Добротность гармонического осциллятора с затуханием.

Затухание осциллятора также часто характеризуют безразмерным параметром, называемым добротностью. Добротность обычно обозначают буквой Q. По определению, добротность равна:

Чем больше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.

У осциллятора с критическим затуханием добротность равна 0,5. Соответственно, добротность указывает характер поведения осциллятора. Если добротность больше 0,5, то свободное движение осциллятора представляет собой колебания; со временем он пересечёт положение равновесия неограниченное количество раз. Добротность меньше или равная 0,5 соответствует неколебательному движению осциллятора; в свободном движении он пересечёт положение равновесия не более одного раза.

Добротность иногда называют коэффициентом усиления осциллятора, так как при некоторых способах возбуждения при совпадении частоты возбуждения с резонансной амплитуда колебаний оказывается примерно в Q раз больше, чем при возбуждении на низкой частоте.

Также добротность примерно равна количеству колебательных циклов, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз, умноженному на П.

16.(1) Затухающие гармонические колебания в электрическом контуре.

Каждый реальный колебательный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасённая в контуре, постепенно расходуется на нагревание и излучение. Свободные колебания будут затухающими. Выражение закона Ома, написанное для цепи 1-3-2, изображенной на рис.18, имеет вид:

IR=-(q/C)-L·dI/dt (69)

  Рис. 18

Разделив это уравнение на L и учтя, I=dq/dt, получим:

(d²q/dt²)+(R/L)·(dq/dt)+(1/LC)·q=0 (70)

Приняв во внимание, что 1/LC=ω₀², и введя обозначение β=R/2L, уравнению (70) можно придать следующий вид:

(d²q/dt²)+2β·(dq/dt)+ω₀²q=0 (71)

Последнее уравнение совпадает с дифференциальным уравнением затухающих колебаний (32).

При условии, что β²<ω₀², т.е. R²/4L²<1/LC решение уравнения (71) имеет вид:

q=q_m0e^-βtcos(ωt+α) (72)

ω=√(ω₀²-β²)=√[(1/LC)-(R/2L)²] (73)

Таким образом, частота затухающих колебаний ω меньше собственной частоты ω₀.

Величину T=2π/ω называют периодом затухающих колебаний, несмотря на то, что функция (72) не периодическая.

 (74)

где T₀ - период свободных незатухающих колебаний. Период затухающих колебаний больше периода собственных незатухающих колебаний. Зная зависимость можно найти напряжение на конденсаторе и ток в контуре:

U_c=q/C=(q_m/C)·cos(ωt+α)

(75)

I=dq/dt=q_m0e^-βt[-βcos(ωt+α)-ωsin(ωt+α)]

Умножив правую часть этой формулы на равное единице выражение ω₀/√(ω²+β²), получим:

Введя угол ψ, определяемый условиями

cosψ=-β/√(ω²+β²)=-β/ω₀;  sinψ=ω/√(ω²+β²)=ω/ω₀;

можно написать:

I=ω₀q_m0e^-βtcos(ωt+α+ψ) (76)

Поскольку cosψ<0, а sinψ>0 значение ψ заключено в пределах π/2 до π. Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на π/2 (при R=0 опережение составляет π/2).

График функции (72) изображен на рис.19. Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный вид.

  Рис. 19