13(2).Дифференциальное уравнение затухающих механических колебаний и его решение.
Затухание
не дает колебаниям быть периодичными
и, строго говоря, к ним нельзя применять
понятие периода или частоты. Но если
затухание мало, то можно условно
использовать понятие периода как
промежутка времени между двумя
последующими максимумами (или минимумами)
колеблющейся физической величины (рис.
1). В этом случае период затухающих
колебаний с учетом выражения (4) будет
равен
Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, которые отличаются на период, то отношение
называется декрементом затухания, а его логарифм
(7)
— логарифмическим декрементом затухания; Ne — число колебаний, которые совершаются за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания является постоянной величиной для данной колебательной системы.
Для характеристики колебательной системы также применяют понятие добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента будет равна
(8)
(так как затухание мало ( ), то T принято равным То).
Из формулы (8) вытекает, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne, которые система совершает за время релаксации.
Выводы и уравнения, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, можно использовать для колебаний различной физической природы — механических (в качестве примера возьмем пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера возьмем электрический колебательный контур).
14.Энергия затухающего осциллятора.
Гармонический
осциллятор (в классической механике)
— это система, которая при смещении из
положения равновесия испытывает
действие возвращающей силы F
, пропорциональной смещению x.
где k— коэффициент жёсткости системы. Если F— единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором. Если имеется ещё и сила трения (затухание), пропорциональная скорости движения (вязкое трение), то такую систему называют затухающим осциллятором.
В качестве модели консервативного гармонического осциллятора возьмём груз массы , закреплённый на пружине жёсткостью .
Энергия простого гармонического движения
Кинетическая энергия K системы в функции времени t такова:
и потенциальная энергия есть
Полная механическая энергия системы, однако, имеет постоянное значение
Таким образом, энергия колебательной системы убывает из-за сил сопротивления по экспоненциальному закону. Вместе с энергией убывает и амплитуда колебаний. Поскольку энергия пропорциональна квадрату амплитуды, получаем:
A=Ao*e^(-βt) (39)
На рисунке пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение x колеблющейся точки. Движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты ω с амплитудой, изменяющейся по закону, определяемому формулой (39). Верхняя из пунктирных кривых на рисунке 12 дает график функции A(t). Начальное смещение xo зависит кроме Aо также от начальной фазы