3(1). Физический и математический маятники

Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 201).Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол , то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела (18.3) момент M возвращающей силы можно записать в виде

                                               (142.4)

где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подве­са О, l – расстояние между ней и центром масс маятника, F_= –mg sin –mg. — возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направления F_ и  всегда противоположны; sin  соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия). Уравнение (142.4) можно записать в виде

Принимая

                                                        (142.5)

получим уравнение

идентичное с (142.1), решение которого (140.1) известно:

                                                    (142.6)

Из выражения (142.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ₀ (см. (142.5)) и периодом

                                        (142.7)

где L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.

Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника (рис. 201). Применяя теорему Штейнера (16.1), получим

т. е. ОО' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса

станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится.

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника

                                                                     (142.8)

где l — длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физичес­кого маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (1417), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

                                                    (142.9)

 приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

5.Идеальный колебательный контур.

Под идеальным колебательным контуром я понимаю вот такую электрическую цепь:

Буквой С здесь обозначен конденсатор, буквой L обозначена катушка индуктивности. Первый закон Кирхгофа: сколько тока втекает в какую-либо точку схемы, столько и вытекает.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений на всех элементах замкнутого контура равна нулю. Я как мог упростил формулировку, но вот иллюстрация в дополнение.

Зависимость напряжения на катушке от протекающего через нее тока: UL=LdIdt(1) То есть напряжение на катушке зависит от ее индуктивности и от производной тока по времени.

Зависимость тока от напряжения на конденсаторе: I=CdUCdt(2) То есть ток зависит от емкости конденсатора и от производной напряжения на конденсаторе по времени.

Теперь попробуем применить все эти законы к нашей схеме. Первый закон Кирхгофа нам здесь особо не нужен. Из второго закона Кирхгофа можно получим такое соотношение. UC+UL=0(3)

Значение UL мы можем получить из формулы (1), а вот значение UC не можем, так как из формулы (2) можем выразить только его производную. Поэтому продифференцируем обе части уравнения (3) по времени. UC˙+UL˙=0 (4)

Здесь и далее точкой будем обозначать операцию дифференцирования по времени (это общепринятое обозначение) Тогда, дифференцируя формулу (1), получим UL˙=LI¨(5)

Из формулы (2) напрямую получим UC˙=IC (6)

Подставим все это в уравнение (4) LI¨+IC=0 (7)

Все! Формализация задачи закончена. Мы получили дифференциальное уравнение, которое полностью описывает нашу цепь. Осталось решить его. С математической точки зрения это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, и решается оно элементарно (смотрите в любом учебнике матана)

Общее решение будет такое: I(t)=B1cos(1LC√t)+B2sin(1LC√t) (8) Здесь B1 и B2 обозначены константы, которые зависят от начальных условий.

Определим их. Для этого нам нужно снова от формальности вернуться к реальности, к нашей схеме. Будем считать, что в начальный момент времени t0=0 ток в цепи у нас был равен нулю. Тогда из формулы (8) получим: B1=0

Будем считать также, что напряжение на конденсаторе равнялось Umax. Тогда из формулы (1) получим (заметим, что напряжение на катушке в нашем контуре равно напряжению на конденсаторе) I˙(0)=UmaxL

Из формулы (8) получим: I˙(0)=B2cos(0)

В итоге: B2=UmaxL

Получается, что при таких начальных условиях ток в нашем колебательном контуре будет протекать по закону: I(t)=UmaxLsin(1LC√t)