Модуль 4. Системи тригонометричних рівнянь. Заняття 15. Розв’язання систем тригонометричних рівнянь.
Системами тригонометричних рівнянь називають системи, які складаються тільки з тригонометричних рівнянь або з тригонометричних і алгебраїчних рівнянь.
Розглянемо деякі види систем тригонометричних рівнянь та методи їх розв’язання.
Системи рівнянь, в яких одне рівняння – алгебраїчне, а друге – сума або різниця тригонометричних функцій.
Приклад 15.1. Розв’яжіть систему рівнянь:
Розв’язання.
Перетворимо рівняння
системи:
.
Враховуючи
рівність
отримаємо :
,
.
Розв’язавши
рівняння знайдемо
,
тоді
.
Розв’яжемо
разом систему, яка складається з рівнянь
і
:
Додавши
і віднявши ці рівняння, отримаємо
.
Підставляючи значення
в перше рівняння системи знайдемо
,
.
Отже остаточно отримаємо відповідь
Дану відповідь можна подати у вигляді двох систем:
Приклад 15.2. Розв’яжіть систему рівнянь:
Розв’язання.
З рівняння
випливає:
,
підставивши значення рівності
отримаємо
,
звідки
,
,
,
,
Маємо
систему
додавши і віднявши ці рівняння, отримаємо
загальний розв’язок системи рівнянь:
Приклад 15.3. Розв’яжіть систему рівнянь:
Розв’язання.
Ліву частину рівняння
перетворимо в добуток. Матимемо систему
Розглянемо
різні випадки, які залежать від значення
параметрів
і
.
а)
Якщо
,
тобто
і
,
то з першого рівняння системи
дістанемо
,
звідки
Замінимо систему рівносильною системою двох лінійних рівнянь
Загальним розв’язком системи , а отже і початкової системи буде
б)
Якщо
і
або
,
то система
,
а отже і початкова система несумісні.
в)
і
,
то система
,
а отже і початкова система невизначені,
тобто мають нескінчену множину розв’язків,
яку можна записати загальною формулою
,
де
довільне число, а
.
Приклад 15.4. Розв’яжіть систему рівнянь:
Розв’язання. Перетворимо ліву частину рівняння . Отримаємо
,
,
,
.
Врахувавши рівняння системи отримаємо рівняння:
,
,
Маємо
систему
додавши
ці рівняння, отримаємо:
,
.
З
рівняння
системи знайдемо
.
Загальний розв’язок системи:
Системи рівнянь, в яких одне рівняння – алгебраїчне, а друге – добуток тригонометричних функцій.
Приклад 15.5. Розв’яжіть систему рівнянь:
Розв’язання. До першого рівняння системи застосуємо формулу перетворення добутку синусів в суму. Отримаємо:
,
,
,
.
Звідси
дістанемо
додавши і віднявши ці рівняння, отримаємо
загальний розв’язок системи рівнянь:
Приклад 15.6. Розв’яжіть систему рівнянь:
Розв’язання. Перетворимо перше рівняння системи. Отримаємо:
,
,
,
,
.
Звідки
додавши і віднявши ці рівняння, отримаємо
загальний розв’язок системи рівнянь:
Приклад 15.7. Розв’яжіть систему рівнянь:
Розв’язання. З першого рівняння виразимо через і підставимо в друге рівняння, де застосуємо формулу додавання аргументів котангенса.
,
,
,
,
,
,
Зауважимо,
що дані серії розв’язків системи можна
об’єднати в одну
Знайдемо серію розв’язків для змінної
з рівності
,
отримаємо
Отже
розв’язком системи буде серія:
Завдання для самостійної роботи.
Розв’яжіть систему рівнянь:
