Заняття 10. Тригонометричні рівняння VII-VIII типів.

До тригонометричних рівнянь сьомого типу належать рівняння в яких виконуються алгебраїчні дії над будь-якою тригонометричною функцією від різних аргументів. Для розв’язання даних рівнянь потрібно звести рівняння до попередніх типів, використавши різні тригонометричні формули.

Приклад 10.1. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Згрупуємо парами доданки і суми перетворимо в добутки: ,

,

,

,

.

Дане рівняння рівносильне сукупності рівнянь:

Приклад 10.2. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Застосуємо формули перетворення добутку в суму. Отримаємо:

,

.

Це рівняння другого типу, яке легко розв’язується:

Приклад 10.3. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Застосуємо формули пониження степеня. Отримаємо,

,

,

,

.

Дане рівняння рівносильне сукупності рівнянь:

До тригонометричних рівнянь восьмого типу належать рівняння, в яких виконуються алгебраїчні дії над різними тригонометричними функціями різних аргументів. Для розв’язання рівнянь даного типу потрібно спочатку звести всі тригонометричні функції до одного аргументу, а потім перейти до однієї функції.

Приклад 10.4. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Застосуємо формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму:

,

.

Це рівняння другого типу, яке розв’язується:

Приклад 10.5. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Зведемо тригонометричні функції до одного аргументу,

застосувавши формулу пониження степеня та формулу тригонометричної функції подвійного аргументу.

,

,

, ,

.

Це рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь:

розв’язком якого є множина ;

. Позначимо , тоді ,

Отже і .

Розв’язки даного рівняння визначаються формулами , .

Існують рівняння, які одночасно відносяться до декількох типів тригонометричних рівнянь або в ході розв’язання переходять з одного типу рівнянь в інший. Такі рівняння віднесемо до змішаного типу рівнянь. Розв’язання цих рівнянь немає певного алгоритму, тому при їх розв’язанні потрібно використовувати попередньо набуті вміння та нестандартні прийоми. Розв’язання цього типу рівнянь наведемо на конкретних прикладах.

Приклад 10.6. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді:

,

.

Ліва частина рівняння є многочленом, симетричним відносно і . Зробимо заміну , піднісши цю рівність до квадрату отримаємо , тоді . Розкладемо і виразимо через . Тоді і вихідне рівняння прийме вид , або , звідки випливає .

Це рівняння зводиться до сукупності наступних рівнянь:

Дане рівняння можна розв’язати іншим способом, наприклад розклавши ліву частину рівняння на множники.

Приклад 10.7. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Рівняння рівносильне системі рівнянь:

Д

Рис. 1

ля полегшення розв’язання рівнянь введемо заміну , тоді система прийме вид Позначимо точками розв’язки рівняння на одиничному колі і викреслимо точки вилучені за умови (Рис. 1).

Отже шуканими розв’язками є , а відповідно

Завдання для самостійної роботи.

Розв’яжіть рівняння:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. .

Заняття 11. Контрольна робота №1.

Наведемо орієнтовний зміст контрольної роботи. За бажанням викладача кількість завдань та їх зміст може змінюватися.

1. Обчислити:

а) ;

б) .

2. Спростити вираз:

а) ;

б) .

3. Доведіть тотожність:

.

4. Розв’яжіть рівняння:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Модуль 3. Тригонометричні нерівності

Заняття 12. Розв’язання найпростіших тригонометричних нерівностей.

Загальні зауваження з приводу розв’язування тригонометричних нерівностей.

Тригонометрична нерівність може бути тотожною (безумовною) і умовною. Тотожні нерівності доводяться, а умовні – розв’язуються.

Тригонометрична нерівність називається тотожною або безумовною, якщо вона справедлива для всіх допустимих значень невідомих, які входять до нерівності.

Наприклад:

1. для всіх , крім .

2. для всіх .

3. .

Тригонометрична нерівність називається умовною, якщо вона справедлива не для всіх значень невідомих, які входять до нерівності.

Наприклад:

, ця нерівність справедлива тільки для всіх , що задовольняють умову .

Розв’язати тригонометричну нерівність – це означає знайти всі значення невідомого, які входять в нерівність, при яких нерівність виконується. Як відомо, тригонометричні функції і мають найменший додатній період , а мають найменший додатній період .

При розв’язуванні нерівностей з тригонометричними функціями, треба використовувати періодичність цих функцій, їх монотонність на відповідних проміжках. Тригонометричні нерівності можна розв’язувати за допомогою графіків функцій , але доцільніше їх розв’язувати за допомогою кола одиничного радіуса.

У більшості випадків розв’язування нерівностей в остаточному результаті зводиться до розв’язування найпростіших нерівностей виду: