Заняття 16. Розв’язання систем тригонометричних рівнянь. Системи рівнянь, в яких одне рівняння – алгебраїчне, а друге – відношення тригонометричних функцій.
Приклад 16.1. Розв’яжіть систему рівнянь:
Розв’язання. Виразимо через і підставимо в друге рівняння.
,
,
.
Знайдемо
значення
і
.
.
.
Отримаємо:
,
,
,
Так
як
,то
,
тоді
і
.
Загальний
розв’язок системи:
Приклад 16.2. Розв’яжіть систему рівнянь:
Розв’язання.
Виразимо
через
і підставимо в друге рівняння.
,
,
,
якщо
,
то отримаємо
.
Тоді
і
.
Загальним розв’язком системи буде:
Приклад 16.3. Розв’яжіть систему рівнянь:
Розв’язання.
Перетворимо друге рівняння системи
.
До даного рівняння застосуємо похідну
пропорції
,
де
,
,
,
:
,
,
,
,
Приклад 16.4. Розв’яжіть систему рівнянь:
Розв’язання.
,
застосуємо до даного рівняння похідну
пропорції
,
отримаємо:
,
,
,
,
,
,
Системи рівнянь, які утримують лише тригонометричні функції.
Приклад 16.5. Розв’яжіть систему рівнянь:
Розв’язання. Скориставшись загальними формулами, прийдемо до системи:
(*)
Звідки
знайдемо
Якщо
розв’язок першого рівняння системи
(*) записати у вигляді сукупності
;
,
а розв’язок другого рівняння у вигляді
сукупності
;
,
то отримаємо сукупність чотирьох систем:
Дана сукупність є розв’язком вихідної системи. Такий запис розв’язку досить об’ємний ніж попередній, але більш наглядний, тому доречно надавати йому перевагу.
При розв’язанні першого рівняння системи використовується параметр , а другого – параметр .
Використання одного параметру приведе до втрати розв’язків системи.
Приклад 16.6. Розв’яжіть систему рівнянь:
Розв’язання.
Представимо друге рівняння системи у
вигляді
,
тоді
і початкова система буде рівносильна
такій системі:
Замінимо перше рівняння системи сумою рівнянь цієї ж системи, а друге різницею першого і другого рівняння.
Розв’язуючи
систему знаходимо
або
і
Звідки одержимо остаточний розв’язок системи:
і
Приклад 16.7. Розв’яжіть систему рівнянь:
Розв’язання.
Використавши рівність
,
друге рівняння системи запишемо у
вигляді
.
Тоді отримаємо систему рівнянь:
Розділимо перше рівняння утвореної системи на друге. Отримаємо:
.
Отже
,
і
,
тоді
.
Піднесемо
рівність
до квадрату
і додавши з попередньою рівністю
отримаємо:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Розглянемо два можливих варіанти розв’язання отриманого рівняння:
1)
,
.
Розв’язуючи дане рівняння робимо
висновок, що дискримінант даного рівняння
менше нуля, отже дане рівняння дійсних
коренів немає.
2)
,
,
Перше
рівняння даної сукупності немає
розв’язку. Розв’яжемо друге рівняння:
,
.
Розглянемо два випадки:
а)
,
тоді з першого рівняння початкової
системи
отримаємо,
,
.
Враховуючі отримані рівняння знайдемо
загальний розв’язок системи
б)
,
аналогічно отримаємо
і знайдемо загальний розв’язок системи
Приклад 16.8. Розв’яжіть систему рівнянь:
Розв’язання.
Якщо
,
то з першого рівняння системи отримаємо
,
а якщо
,
то рівності рівняння не виконуються.
Підставимо рівність
в друге рівняння системи. Отримаємо:
,
,
,
.
Запишемо
дві серії розв’язків:
і
.
З рівності
,
знайдемо значення змінної
.
Розглянемо два випадки:
а)
,
,
,
.
Тоді
б)
,
,
,
.
Тоді
Завдання для самостійної роботи.
Розв’яжіть систему рівнянь.
