- •Передмова
- •Модуль 1. Перетворення тригонометричних виразів. Заняття 1. Загальні відомості з тригонометрії.
- •Основні тригонометричні формули та співвідношення.
- •Заняття 2. Тотожні перетворення тригонометричних виразів.
- •Заняття 4. Перетворення тригонометричних виразів в добуток. Доведення умовних тотожностей.
- •Заняття 5. Тотожні перетворення виразів, що містять обернені тригонометричні функції.
- •Модуль 2. Розв’язання тригонометричних рівнянь. Заняття 6. Тригонометричні рівняння.
- •Найпростіші тригонометричні рівняння.
- •Основні типи тригонометричних рівнянь.
- •Заняття 7. Тригонометричні рівняння II-IV типів.
- •Заняття 8. Тригонометричні рівняння V-VI типів.
- •Заняття 9. Рівняння виду .
- •1. Спосіб введення допоміжного кута.
- •3. Спосіб зведення до однорідного рівняння.
- •Заняття 10. Тригонометричні рівняння VII-VIII типів.
- •Найпростіші тригонометричні нерівності.
- •Розв’язування тригонометричних нерівностей.
- •Заняття 13. Розв’язання тригонометричних нерівностей методом інтервалів.
- •Розв’язком нерівності будуть інтервали
- •Заняття 14. Розв’язання тригонометричних нерівностей .
- •Модуль 4. Системи тригонометричних рівнянь. Заняття 15. Розв’язання систем тригонометричних рівнянь.
- •Системи рівнянь, в яких одне рівняння – алгебраїчне, а друге – сума або різниця тригонометричних функцій.
- •Системи рівнянь, в яких одне рівняння – алгебраїчне, а друге – добуток тригонометричних функцій.
- •Заняття 16. Розв’язання систем тригонометричних рівнянь. Системи рівнянь, в яких одне рівняння – алгебраїчне, а друге – відношення тригонометричних функцій.
- •Системи рівнянь, які утримують лише тригонометричні функції.
- •Заняття 17. Рівняння та нерівності, які містять обернені тригонометричні функції.
- •Нерівності, які містять обернені тригонометричні функції.
- •Заняття 18. Контрольна робота №2.
- •Література
Заняття 4. Перетворення тригонометричних виразів в добуток. Доведення умовних тотожностей.
Розглянемо деякі способи перетворення тригонометричних виразів у добуток.
Приклад 4.1. Записати у вигляді добутку вираз
Розв’язання.
Приклад 4.2. Перетворити в добуток .
Розв’язання.
Приклад 4.3. Перетворити в добуток
Розв’язання.
Приклад 4.4. Перетворити в добуток
Розв’язання.
Умовними тотожностями називаються такі тотожності, які задовольняються при всіх допустимих значеннях аргументів, які в свою чергу задовольняють певні додаткові умови.
Приклад 4.5. Довести умовну тотожність
, якщо .
Доведення. Перетворимо ліву частину рівності, враховуючи умову , тоді отримаємо:
Приклад 4.6. Доведіть умовну тотожність
, якщо ,
Доведення. Враховуючи, що та отримаємо:
Рекомендовано провести самостійну роботу (30 хвилин).
Завдання для роботи доцільно підібрати з виконаних домашніх завдань.
Завдання для самостійної роботи.
Перетворити в добуток:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Довести умовні тотожності:
, якщо
;
, якщо ;
, якщо ;
, якщо ;
, якщо ;
, якщо ;
, якщо ;
якщо
;
, якщо ;
, якщо
.
Заняття 5. Тотожні перетворення виразів, що містять обернені тригонометричні функції.
Функції , , , називаються оберненими тригонометричними функціями або аркфункціями.
Зазначимо деякі важливі тотожності:
, .
Розглянемо формули залежності між аркфункціями.
Нехай , де , і , тоді . Знайдемо
, , .
З цих співвідношень, враховуючи, що дістанемо наступні рівності:
Якщо , то перед застосуванням формул слід змінити знак аргументу, використавши наступні співвідношення:
Приклад 5.1. Обчисліть: а) ; б) ; в) ; г) .
Розв’язання.
а) ;
б) ;
в)
;
г)
Приклад 5.2. Обчисліть .
Розв’язання. Для обчислення даного виразу слід скористатися формулою додавання , враховуючи, що
, а . Одержимо:
Приклад 5.3. обчисліть .
Розв’язання. В даному випадку потрібно скористатися формулою , попередньо перетворивши в з відповідним аргументом.
.
Приклад 5.4. Обчисліть .
Розв’язання. Нехай , тоді . врахувавши, що , то . Для знаходження , використаємо формулу , тому спочатку потрібно знайти . З формули , врахувавши, що , знайдемо . Так як в інтервалі то . Отже і враховуючи, що і на даному інтервалі синус приймає лише додатних значень, то . Таким чином .
Приклад 5.5. Обчисліть .
Розв’язання. Нехай , тоді і . Але , враховуючи, що і отримаємо:
.
Приклад 5.6. Довести тотожність .
Доведення. Обчислимо значення тангенса від обох частин рівності:
;
.
Але тотожність, ще недоведена бо існує безліч кутів, тангенс яких дорівнює 1. Для переконання, що сума дорівнює , слід довести, що сума попадає в той самий інтервал монотонності, що й , а саме в інтервал .
Додамо почленно обидві нерівності. Отримаємо
.
Оскільки дуги кутів і належать одному інтервалу монотонності і мають однакові тангенси, то вони рівні. Отже тотожність доведено.
Завдання для самостійної роботи.
Обчисліть:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Довести тотожності:
;
;
;
;
;
;
;
.