Найпростіші тригонометричні нерівності.

1. .

Я

Рис. 2

кщо , нерівність не має розв’язків.

Якщо , нерівність задовольняється при .

Якщо , то нерівність справедлива для всіх , які задовольняють умову:

(Рис 2)

2. .

Рис.3

Якщо , нерівність не має розв’язків.

Якщо , нерівність задовольняється при .

Якщо , то нерівність справедлива для всіх , які задовольняють умову:

(Рис.3)

3. .

Я

Рис. 4

кщо , то нерівність задовольняється при всіх дійсних значеннях аргументу, тобто .

Якщо , нерівність не має розв’язків.

Якщо , то нерівність справедлива для всіх , які задовольняють умову:

(Рис 4).

4. .

Я

Рис. 5

кщо , нерівність не має розв’язків.

Якщо , то нерівність задовольняється при всіх дійсних значеннях аргументу, тобто .

Якщо , то нерівність справедлива для всіх , які задовольняють умову:

(Рис.5)

5. .

Рис. 6

Нерівність справедлива для всіх , які задовольняють умову:

(Рис. 6)

6. .

Рис. 7

Нерівність справедлива для всіх , які задовольняють умову: (Рис. 7)

7. .

Рис.8

Нерівність справедлива для всіх , які задовольняють умову: (Рис.8)

VIII.

Рис. 9

Нерівність справедлива для всіх , які задовольняють умову: (Рис.9)

Приклад 12.1. Розв’яжіть нерівність .

Р

Рис. 10

озв’язання. Дану нерівність будемо розв’язувати на відрізку .

Розглянемо його ліву половину – відрізок (рис. 10). На цьому відрізку рівняння має єдиний розв’язок , а функція монотонно зростає. Отже, якщо , то , тобто ці значення розв’язками нерівності не будуть. Якщо ж , то . Всі ці значення задовольняють нерівність. На відрізку функція монотонно спадає і рівняння має єдиний розв’язок .

Якщо , то , тобто всі ці значення є розв’язками вихідної нерівності.

Для маємо , ці значення розв’язками не будуть. Таким чином, множина всіх розв’язків даної нерівності на відрізку є інтервал .

Враховуючи періодичність функції , нерівність справедлива для всіх , що задовольняють умову: .

Відповідь: .

Приклад 12.2. Розв’яжіть нерівність .

Розв’язання. Розв’яжемо цю нерівність за допомогою одиничного тригонометричного кола (рис. 11).

Рис. 11

Відповідь: .

Розв’язування тригонометричних нерівностей.

Розглянемо приклади розв’язання тригонометричних нерівностей, які не належать до найпростіших.

Приклад 12.3. Розв’яжіть нерівність .

Розв’язання. Оскільки , то або

,

тоді .

Розв’язок даної нерівності можна визначити, поклавши , на одиничному колі.

Рис. 12

(рис.12),

.

Відповідь:

Приклад 12.4. Розв’яжіть нерівність .

Розв’язання. Поклавши , одержимо нерівність

Д

Рис. 13

угу, в точках якої задовольняється нерівність, показано на рис. 13.

Кут, котангенс якого дорівнює , буде .

Розв’язком нерівності буде: .

Розв’язком вихідної нерівності буде , але враховуючи, що період котангенса дорівнює , то розв’язок вихідної нерівності можна записати: . Дані розв’язки рівноцінні.

Відповідь:

Приклад 12.5. Розв’яжіть нерівність .

Розв’язання. Помножимо ліву і праву частину нерівності на 2. Отримаємо , . Нехай , тоді , а дана нерівність найпростіша, тому її розв’яжемо за допомогою одиничного кола. (Рис.14).

О

Рис. 14.

тримаємо .

Повернемося до попередньої змінної . . Розділивши нерівність на 2 отримаємо остаточний результат: .

Відповідь:

Завдання для самостійної роботи.

Розв’яжіть нерівність:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. .