Заняття 8. Тригонометричні рівняння V-VI типів.

До п’ятого типу тригонометричних рівнянь належать рівняння, права частина яких дорівнює нулю, а ліва частина є добутком многочленів, в кожному з яких виконуються алгебраїчні операції над будь-якою тригонометричною функцією. Для розв’язання даного типу рівнянь потрібно кожний співмножник прирівняти до нуля і знайти всі розв’язки.

Приклад 8.1. Розв’яжіть рівняння

.

Розв’язання. Дане рівняння рівносильне сукупності рівнянь

Приклад 8.2. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

Тепер це рівняння зводиться до трьох найпростіших рівнянь:

Але розв’язок множини є серед розв’язків множини і , тому розв’язок даного рівняння визначається формулами і .

Приклад 8.3. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Застосувавши формули зведення отримаємо:

Останнє рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь:

До шостого типу належать рівняння в яких виконуються будь-які алгебраїчні дії над кількома тригонометричними функціями одного й того самого аргументу. Для розв’язання даного типу рівнянь потрібно виразити всі функції через одну. Існує універсальний спосіб розв’язання таких рівнянь, це запис функцій через тангенс половинного аргументу.

Практичні прийоми розв’язання рівнянь шостого типу:

1. якщо при підстановці замість , всі члени рівняння одночасно зберігають або змінюють знаки, то всі члени доцільно виразити через синус;

2. якщо при підстановці замість , всі члени рівняння одночасно зберігають або змінюють знаки, то всі члени доцільно виразити через косинус;

3. якщо при підстановці замість , всі члени рівняння одночасно зберігають або змінюють знаки, то всі члени доцільно виразити через тангенс.

Якщо наведені правила не виконуються, то застосовуємо підстановку .

Але значним недоліком універсального способу розв’язання є те, що він приводить, як правило, до громіздких виразів і алгебраїчних рівнянь високих степенів.

Приклад 8.4. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання.

Замінюючи на , маємо . Всі члени рівняння змінили знак, тому в цьому рівнянні доцільно всі функції виразити через косинус. .

Рівняння визначимо при ,

Нехай , тоді .

Але перша серія розв’язків , не входить в область визначення рівняння. Отже є розв’язком рівняння.

Приклад 8.5. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання.

Замінюючи на , маємо:

.

Всі члени рівняння змінили знаки, тому в цьому рівнянні доцільно всі функції виразити через синус. .

Рівняння визначене при Отримаємо,

.

Нехай тоді ,

Приклад 8.6. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Замінюючи на , маємо:

.

Всі члени рівняння змінили знак, тому доцільно в цьому рівнянні всі функції виразити через тангенс. Рівняння визначене при

Поділимо почленно дане рівняння на , дістанемо алгебраїчне рівняння відносно тангенса: .

Нехай , тоді , розв’язавши рівняння одержимо:

До цього ж типу тригонометричних рівнянь відносяться однорідні рівняння відносно синуса та косинуса.

Рівняння називаються однорідними відносно і . Сума показників степені при і у всіх членах такого рівняння однакова. Ця сума називається степенем рівняння. Наведені рівняння мають першу та другу степінь відповідно. Діленням на або , де - степінь однорідного рівняння, рівняння зводиться до алгебраїчного відносно функцій або .

Приклад 8.7. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Дане рівняння відноситься до однорідних рівнянь другого степеня. Поділивши обидві частини рівняння на , причому , дістанемо:

,

Приклад 8.8. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Дане рівняння не являється однорідним, але його можна звести до однорідного, якщо помножимо праву частину рівняння на одиницю, яку представимо як .

Тоді отримаємо , . Поділимо обидві частини рівняння на , причому . Одержимо .

Приклад 8.9. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Як і в попередньому прикладі помножимо праву частину рівняння на тригонометричну одиницю. Після перетворення отримаємо:

, .

Дане рівняння є неповним однорідним рівнянням, розв’язання якого здійснюється винесенням спільного множника за дужки.

,

Друге рівняння сукупності є однорідним рівнянням першого степеня і розв’язується ділення обох частин рівняння на . Отже,

Завдання для самостійної роботи.

Розв’яжіть рівняння:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. 

8. 

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. .