Заняття 9. Рівняння виду .

До шостого типу належать і тригонометричні рівняння виду , де - сталі коефіцієнти, які не дорівнюють нулеві.

Розглянемо розв’язання даних рівнянь в загальному вигляді та на конкретних прикладах.

1. Спосіб введення допоміжного кута.

Для розв’язання рівняння винесемо за дужки множник виду . Отримаємо

.

Так як , то перше число можна прийняти за косинус деякого кута , а друге за синус того ж кута , тобто , . В такому випадку рівняння прийме вигляд або , звідки . Це рівняння має розв’язок, якщо , тоді , . Кут знаходимо з рівності , звідки . Отже в загальному вигляді рівняння має розв’язок .

Але можливо, що , а вираз , тоді вихідне рівняння прийме вид , або де , в результаті отримаємо загальний розв’язок .

Приклад 9.1. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. В даному рівнянні умова виконується, отже рівняння має розв’язки. Розділивши рівняння на вираз , який дорівнює , отримаємо . Звідки , або , знайшовши значення отримаємо остаточний розв’язок рівняння:

.

Даний спосіб використовують і для розв’язань інших рівнянь.

Приклад 9.2. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Розділимо ліву і праву частини рівняння на . Отримаємо , ,

,

Приклад 9.3. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. По вигляду дане рівняння схоже на рівняння розв’язане в попередньому прикладі. Але використання способу введення допоміжного кута до успіху не приведе. Перепишемо дане рівняння наступним чином:

,

,

.

Отримаємо сукупність рівнянь

2. Спосіб заміни синуса і косинуса через тангенс половинного аргументу.

Позначимо тоді рівняння прийме вигляд . Це рівняння є раціональним відносно . Помножимо обидві частини рівняння на отримаємо: тоді . Якщо , то розв’язуючи це рівняння дістанемо , звідки при виходить . Якщо то і рівняння набуває вигляду , звідки . Але в цьому випадку (при ) застосування даних формул справджується лише при , що привело до втрати коренів , які задовольняють дане рівняння .

Приклад 9.4. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. В даному рівнянні , умова виконується, отже рівняння має розв’язки.

Введемо заміну , тоді:

,

,

.

Отже, , .

Приклад 9.5. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. В даному рівнянні , умова виконується, отже рівняння має розв’язки. В даному рівнянні , тому рівняння має дві множини розв’язків.

,

,

,

.

Звідки і , або , , , .

3. Спосіб зведення до однорідного рівняння.

Перетворимо рівняння використавши формули подвійних аргументів і , при цьому помножимо праву частину рівняння на тригонометричну одиницю.

,

,

.

Дане рівняння належить до четвертого типу, який розглядався раніше.

Приклад 9.6. Розв’яжіть рівняння .

Розв’язання. Зведемо дане рівняння до однорідного за допомогою формул подвійного аргументів синуса та косинуса.

, , ,

Звідки і , або , , .

Існує ще один спосіб розв’язання даних рівнянь. Потрібно піднести обидві частини рівняння до квадрату і звести його до однорідного. Але використовувати цей спосіб не доцільно, тому що він може привести до появи сторонніх коренів.

Завдання для самостійної роботи.

Розв’яжіть рівняння:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .