Основні тригонометричні формули та співвідношення.

1) Співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу:

; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , .

2) Формули додавання:

;

; ; ;

3) Тригонометричні функції подвійного і потрійного аргументів:

;

;

;

;

4) Тригонометричні функції половинного аргументу:

;

;

;

;

.

5) Формули пониження степеня тригонометричних функцій:

; .

6) Перетворення алгебраїчної суми тригонометричних функцій в добуток:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

7) Перетворення добутку тригонометричних функцій в алгебраїчну суму:

;

;

.

Завдання для самостійної роботи.

Вивчити основні тригонометричні формули та співвідношення.

Обчисліть :

1. ; 2. ;

3. ; 4. .

5. ;

6. ; 7. ;

8. .

Зведіть тригонометричні функції до аргументу, який належить відрізку :

Заняття 2. Тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Тригонометричною тотожністю називається рівність правильна для всіх допустимих значень аргументу α, тобто рівність правильна для всіх тих значень аргументу, при яких ліва і права частини не втрачають змісту.

Заміна тригонометричного виразу на тотожний йому називається тотожним перетворенням даного виразу.

Розглянемо деякі способи тотожних перетворень. Розпочнемо з обчислення виразів, що є добутком косинусів, аргументи яких утворюють геометричну прогресію із знаменником 2. Для спрощення виразу слід його помножити і поділити на синус найменшого кута і використати формулу .

Приклад 2.1. Обчисліть .

Розв’язання.

.

Приклад 2.2. Обчисліть .

Розв’язання. .

Розглянемо вирази, які складаються з добутку синусів, аргументи яких утворюють геометричну прогресію із знаменником 2.

Приклад 2.3. Обчисліть .

Розв’язання.

.

При перетворенні тригонометричних виразів іноді доцільно використати такі тригонометричні тотожності:

Використовуючи ці формули легко довести раніше доведені тотожності (зробіть це самостійно):

Приклад 2.4. Обчисліть

.

Розв’язання.

=

=

.

Приклад 2.5. Обчисліть

.

Розв’язання. Згрупуємо

.

Для спрощення виразів, які складаються з суми синусів або косинусів кутів, які утворюють арифметичну прогресію з різницею , потрібно кожен доданок помножити і весь вираз поділити на , а потім утворені доданки перетворити в суми.

Приклад 2.6. Обчисліть .

Розв’язання. .

В ряді тотожностей використовуються тригонометричні функції кутів 18˚. Знайдемо їх значення.

,

,

,

.

Нехай тоді ,

Враховуючи, що кут 18˚ знаходиться в першій четверті, а синус в ній додатній то .

Знайдемо та

;

;

Використовуючи знайдені значення кутів , легко можна знайти значення тригонометричних функцій кутів , та ін.

Приклад 2.7. Обчисліть .

Розв’язання. При обчислення виразу, скористаємося вище наведеними значеннями кутів :

= =

= =

= = =

= =

.

Розглянемо приклади тотожних перетворень, в яких потрібно враховувати тотожність .

8. Спростіть вираз .

Розв’язання.

= = = =

= =

Завдання для самостійної роботи.

Спростіть вирази:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. Вказівка: застосувати формулу tg18;

18. Вказівка: помножити і розділити на ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. .

Заняття 3. Тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Доведення тригонометричних тотожностей.

Тотожні перетворення, як за своєю метою так і за методами виконання, є досить різноманітними. Тому вони не можуть бути передбачені певною теорією. Якщо вираз не спрощується жодним вище згаданим прийомом то потрібно скористатися основними тригонометричними формулами застосовуючи їх в різних комбінаціях.

Навички в перетворені тригонометричних виразів набуваються практикою.

Приклад 3.1. Спростити вираз

Розв’язання. Застосуємо формули зведення:

Приклад 3.2. Спростити вираз .

Розв’язання.

Перший спосіб.

Другий спосіб.

Приклад 3.3. Спростити вираз

Розв’язання.

При доведенні будь-яких тотожностей, в тому числі і тригонометричних, використовують такі способи:

1. вираз в одній частині рівності за допомогою тотожних перетворень зводять до виразу в другій частині рівності;

2. вирази в лівій і правій частинах тотожності за допомогою тотожних перетворень зводять до одного і того самого вигляду;

3. доводять, що різниця між лівою і правою частинами даної тотожності дорівнює нулю.

Приклад 3.4. Доведіть тотожність

Доведення.

Приклад 3.5. Довести тотожність

Доведення.

Приклад 3.6. Довести тотожність

Доведення.

Приклад 3.7. Довести тотожність

Доведення. Перетворимо ліву частину тотожності.

Перетворимо праву частину тотожності.

Після перетворення вирази в лівій і правій частинах однакові. Отже, тотожність доведена.

Проводиться самостійна робота на знання основних тригонометричних формул та співвідношень.

Завдання для самостійної роботи.

Доведіть тотожність:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ; ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. .

Спростити вирази:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. .