Заняття 17. Рівняння та нерівності, які містять обернені тригонометричні функції.

При розв’язанні рівнянь, що містять обернені тригонометричні функції необхідно пам’ятати, що:

; ;

; ; ; .

Приклад 17.1. Розв’яжіть рівняння: .

Розв’язання. Візьмемо косинус від обох частин рівнянь, отримаємо рівняння:

.

Далі отримаємо , звідки .

Приклад 17.2. Розв’яжіть рівняння:

.

Розв’язання. Використавши рівність , отримаємо рівняння:

.

Введемо заміну , тоді рівняння прийме вигляд:

.

Звідки . Таким чином початкове рівняння рівносильне сукупності рівнянь:

Друге рівняння сукупності розв’язку немає, тому що . Розв’язком першого рівняння буде .

Приклад 17.3. Розв’яжіть рівняння: .

Розв’язання. Візьмемо синус від обох частин рівнянь, отримаємо рівняння:

, ,

,

, .

Отримаємо сукупність рівнянь:

,

Звідки , , .

Всі отримані корені потрібно перевіряти, тому що операція обчислення тригонометричної функції від лівої і правої частини рівняння може привести до появи сторонніх коренів.

Перевірка. Виконаємо підстановку кожного кореня у початкове рівняння.

, , , . Отже  не є коренем рівняння.

, , , . Отже  не є коренем рівняння.

, , , . Отже  корінь рівняння.

Приклад 17.4. Розв’яжіть рівняння: .

Розв’язання. Візьмемо тангенс від обох частин рівняння, отримаємо рівняння:

.

Використавши формулу додавання аргументів отримаємо:

,

,

.

Звідки , .

Перевірка. Виконаємо підстановку кожного кореня у початкове рівняння.

, , ліва частина рівняння від’ємна, а права додатна, отже не є коренем рівняння.

. Нехай , тоді,

,

.

Враховуючи, що і . Тоді , тобто належить першій чверті. Отже якщо і , то , і значить  корінь рівняння.

Нерівності, які містять обернені тригонометричні функції.

Розв’язання найпростіших нерівностей.

Нерівності виду , , де - будь яка раціональна функція, а - одна з обернених тригонометричних функцій (арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс), розв’язуються в два етапи – спочатку розв’язується нерівність відносно невідомого , а потім – найпростіша нерівність , яка містить обернену тригонометричну функцію.

Приклад 17.5. Розв’яжіть нерівність .

Розв’язання. Позначивши , вихідну нерівність перепишемо у

вигляді нерівності:

.

Розв’язком якої буде: та .

Повертаючись до вихідного невідомого, отримуємо, що вихідна нерівність рівносильна двом найпростішим нерівностям:

та .

Розв’язками яких відповідно будуть проміжки та . Об’єднавши ці розв’язки, отримаємо розв’язок вихідної нерівності:

.

Для того щоб розв’язати нерівність, яка зв’язує значення різних обернених тригонометричних функцій або значення однієї тригонометричної функції, обчисленої від різних аргументів зручно обчислити значення деякої тригонометричної функції від обох частин нерівності. Треба пам’ятати, що одержана при цьому нерівність буде еквівалентна вихідній лише у тому випадку, коли множина значень правої і лівої частини вихідної нерівності буде належать одному й тому ж проміжку монотонності цієї тригонометричної функції.

Приклад 17.6. Розв’яжіть нерівність: .

Розв’язання. Множина допустимих значень , які входять до нерівності: .

При , . Таким чином, значення не будуть розв’язками нерівності.

При як права так і ліва частини нерівності мають значення, які належать проміжку . Так на проміжку функція синус монотонно зростаюча, то при вихідна нерівність еквівалентна нерівності або . Остання нерівність при розглядуваних значеннях невідомого еквівалентна нерівності .

Таким чином, розв’язками вихідної нерівності будуть розв’язки нерівності , які попадають в проміжок . Отже остаточна відповідь .

Завдання для самостійної роботи.

Розв’яжіть рівняння:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

Розв’яжіть нерівність:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. .