2.7 Косвенные измерения

При косвенных измерениях искомое значение величины находят расчетом на основе измер( чия других зеличин связанных с измеряемой величине известной зависимостью

А=Ла_и...,а„) (2.18)

Результатом косвенного измерения является оценка величины А. ко торую находят подстановкой в формулу (2 18) оценок арг ументов а,.

Поскольку каждый из аргументов a_t измеряется с некоторой погрет ностью то задача оценивания погрешности результат а сводится к сум жированию погрешностей измерения аргументов Однако особен тость косвенных измерений состоит в том, что вклад отдельны;, погрешностей измерения аргументов в погрешность результата зависит от вида фучк ции (2 18)

Для оценки погрешностей существенно разделение косвенных изме­рений на линейные и нелинейные косвенные измерения. При ли­нейных косвенных измерениях уравнение измерений

имеет вид

т

А=ТМ> о ¹⁹>

i=l

где Ь,— постоянные коэффициенты при арг ументах а,.

Любые другие функциональные зависимости (2.18) относятся к не линейным косвенным измерения»'

Результат линеиного косвенн го измерения вычисляют по формуле (2 19), подбавляя в нее измеренные ?начения аргументов.

Погрешности измерения аргументов могут быть заданы своими гра нииами Аа,- либо цовери- ельнь ми границами Да(Р), с доверительными вероятностями Р,.

При малом числе аргументов (меньше пяти) простая оценка погреы- ност» результата АА получается суммированием предельных погрешно­стей voe3 учета знака), т е. подстановкой "раниц Аа Аа-,... , Аа„ в вы­ражение

ЛЛ=Дй|+Дя₂+ +Да_т

Однако эта оценка является из. [ишне завышенной, поскольку та­кое суммирование фактически означает- что пс грешности измерения всех аргументов одновременно имеют максимальное значение и сов- тдают по знаку Вероятность такого совпадения практически равна нулю. Для нахождения более реалистичной оценки переходят к ста­тистическому суммированию погрешностей аргументов Лолатая, что в заданных границах погрешности аргументов распределены равномерно, доверительные границы ЛА(Р) погрешности результата измерения рассчитывают по формуле

(2 21)

где кс )ффициент к определен в (2.15)

Если погрешности измерения аргументов заданы доверительны­ми границами с одинаковыми доверительными вероятностями, то 'слагая распределение зтих погрешностей нормальным, доверитель­ные границы результата находят ло формуле

(2.22)

При различных довери-ельных вероятностях погрешностей аргумен­тов их необходимо привести к одному и тому же значению Р.

Нелинейные косвенные измерения характеризу­ются тем что результаты измерений ар¹ ументов подвер^гаются функцио­нальным ..реобрчзованиям Но, как покатано в теории вероятностей любые, гаже простейшие функционачьные преобразования случайных величин приводят к изменению закинов их распрепеленил

Пример Результа измерения аргуме^.¹ а m ;чиняется нормали п м распрещ е ию

(2 20)

. -i

шюттости вероятностей кр шая которого f(o) е п' казана на рис. 2.13, а.

При возведении измерение о значения величины в к 1адра г q = о² график плотности »определения npeupneeai i изменения i п чинимает вид показа чньм ир рис. 2 13, б (вы­вод формулы "П екаем) Урав "ние кривой в этом случае нмееп следующий гид

« Л

/(я) = —р е ^г

Чя

Да).
/0,i	\
/ 0.2	\
i/ O.J 1	i .4*.

-3

-2

Рис. 2.13. Графики I jIoti octh распределения вериятности результата измерения, подчиняющегося нормальному закону, и квадрата этого результата изм^ре.^ия

При сложной ф' нкции (2 18) и в особе ности если зто функция не­скольких api мен он. отыскан::е закона распределения погрешности результата связано со значительными математическими трудностями Поэтому при нелинейных ко. венных измерепиях приходится огказы- ва гься от испо шзования интервальных оценок гогрешности результата, ограничивая! ь приближ- ннои верхней оценкой ее границ В основе при- б. иженнс о оценивания погрешности нелинейных косвенных измерений лежит линеаризация ф\нкции (2 18) и дальнейшая обработка результа­тов, как при линеиных измерениях.

Запишем „ыраженле для полного дифференциала фз кции А :

, . 8А , дА дА ,

(2.23)

да

аА= - da, + -—da + ..4 -—аа„

дс.,

По определению полный дифференциал фу нкции — зто приращение функции, вы данное малыми приращениями ее аргументов

Учи гывая что .югрешности измерения аргумент ов всегда являю ся малыми ьеличинамп по сравнению с номинальными значениями аргу ментов, можно заменить в (2 23) дифференциалы аргументов da на по­грешности измерений Ад,-, а дифференциал функции 4А на погрешность результата измерения АЛ

. _л ЗА дА _А ЬА _к

(2 24)

АА = -~ Дд,н- Аа-, +...+-- - Аа„ да. са₁ да_т

Полагая как и прежде что распределения noi решмостей ар. ументов подчиняются равномерному закону, при числе ела. аемых т < 5 грани­цы погрешности результата можно определить по формуле (2 20) В том случге когда погрешности аргументов згданы их доверительными гра- им ами оценку погрешности резулыа га измерения вычисляют по (2.22). В обеих случаях роль коэффициентов b,,b₂. ... b_m выполняют частые

дА

производные .

да,

Применив фор лупу (2 24), получим несколько про( гых правил оце- н чвания погрешности результата косвенного измерения.

Правило 1 Погрешности в суммах и разностях Если а, и а₇ измелены с погрешностями Дя, и Ая- и измеренные значения использу- ю гея для вычисления суммы или разности А - а, ± а₂, то .уммирую *ся абсолю ные погрешносз и (без учета знака!

ЬА - Аа, + ДЙ₂.

Правило 2 Погрешности в произведениях и частпых Если из­меренные значения <7, и а₂ используются для вы числения А =а_: или А = а, /а,, то суммируются относительные погрешности ЬА = 8я, + Ъа₂, где оа е Lata

Правило 3 Измеренная вели чина > множась я на точное число Если а используегся для вычисление произведения А = В'а, в котором В не имеет погрешности, го ЬА = |/?|бя.

Правило 4 Возведение в степень Если а используегся для вычисления степени А = а \ то 64= пЪи

Правило 5. Погрешность в произвольной функции одной пере­менной. Если а используется для вычисления функции А (а), то

ЬА-*^ЛЬа da

Выв >д этих правил не приводится и может быть легко сделан само­стоятельно. Исд ользование правил позво гяет получить не слишком завы­шенную оценку предельной погрешности результата нелинейного косвен ного измерения при не слишком большом числе аргу ментов (m < 5)

Пример Произво щтся кос- шое измерение э лектрической мощно н pacvOF¹ шмой на резис] ре < опротив гением R при прел жаниь по нему гока I Tat как Р = I^:R. то прк пеняя правила и 4, .олучим оР Р 6R + 2M

Пример И: меренис-л найден I начение угла 6 = {20±3)^J Необходим. 1айти cos4. Наилучшая денка для соз2 = ('.94. Погрешность д0 должна быть выражена в радианах т.е дв = 3° - 0,05 рад. Тогда пи правилу 5 .^г cosfi = (sin20°) 0.05 = 0.34 0.05 = 0,02 Ок нчательно cosO =0 94-*Ю,02