2.8 Совместные измерения

Целью совместных измерений является установление функцчональ- ной зависимости между величинами, например зависимости сопротив­ления проводника от температуры

Для отыскания зависимости у = Дх) между перемени ыми х и у необ­ходимо последовательно устанав¹ ивая и измеряя значения х, олновре-

53

менно измерять величину у, получив таким образом координаты иссле дуемой зависимости (х„ у') Так как результаты измерения величин х и у содержат погрешности, то полученные координаты не буду г принац лежать истинной зависимости Исключив возможные систематические ■ эгрешнссти можко уточнить координаты, но и уточненные координа­ты могут отклонят ься от истинной зависимости из за наличия случай­ных погрешностей Поэтому при выполнении совместных измерений, во- лервых, розникает задача аппроксимации зависимости у =flx) по экс- перимс нтальным данным так. чтобы она наилучшим ооразсм описывала истинную зависимость Во вторых, необходимо ответить на вопрос — действительно ли аппроксимирующая функция наилучшим образом приближается к искомой зависимости и кзкой мерой можно оценить приолижение экспериментальной зависимости к истинной.

Подход к решению подобных задач возможен на основе применения метода наименьших киадра тов. В этом метсце о><енки параметров зави­симости определяю из условия, что сумма квадратов отклонений расчетных значений аппроксимирующей функции от эксперименталь­ных значений должьа быть минимальна

При обо< новании метода наименьших квадратов в математической статистике предполагается, что результаты измерений у,), i = 1,..., т удов, итворяют "лелующим условиям:

• значения api у ментов х известны точно;

• систематические погрешности исключены и результаты измерений у, содержат лишь слу* айние погрешности кот орые независимы и имеют одинаковые дисперсии;

• noi решности измерения у-, имеют нормальное распре еление.

При этих условиях мет-од наименьших квадратов тает несмещенные

оценки параметров зависимости, имеющие минимальные дисперсии

Рассмотрим важный для практики случай по троения методом наи меньших квадратов линейной зависимости у ~ А + Вх , где А и В — постоянные. График функции — прямая линия с наклоном В, пересе кающая ось ордин it в точке Л (рис. 2 14).

Выполнив совместные измерения х, и y_f с аб олю ей точностью, можно было бы сжида ь, что каждая точка Ж, у) легла бы на теоре

тическую линию В действительное) и, боль­шее, на что можно надея гься — это то. vto каждая экспешменталь ая точкр, попадает в поле прямоугольник? со сторонами, соот ветствующими границам погрешностей из­мерения Xj и у, Если же погрешности изме­рения х, малы и ими можно пренебречь, экс­периментальные точки будут иметь откло- Рис. 2.14 График линейной нения от идеальной прямой тогько в преде- чавигчмости лах погрешности измерения Щ Примем до-

нугцение о малости погрешностей измерения x_h что н^ является слишком жестким поскольку всегда можно организовать измерения гак чтобы обеспечить требуемое соотношение погрешностей

Задача определения наилучшей прямой линии аппроксимирующей набор из т эксперимен гальных точек (х,, у\), ..., (x_m,yj- сводится к на хожден] то значений постоянных А и В

В теории метода наименьших квадратов показано, что наилучшие оценки для неизвестных постоянных Айв это те, для которых мини­мально выргжение

(2 25)

а,

где Oj — среднее «вадра гитес кое отклонение погрешности измерения у.

Продифференцирован (2 25) по А и В и приравняв производные ну­лю, по гучим систему уравнений для определения А и В Опуская матема гические преобразования приведем выражения для расчета оценок по­стоянных:

А = ^ч'⁼¹ ' ^yv~' (2 26)

B = --— ^—⁴ - , (2 27)

(п, Г⁴

где С = / j?xf

l«=l

» )²

1*1 (2 28)

W=1 )

Формулы (2.26) и (2 27) дают оценки постоянных А и В для прямой линии у = А + В;г, основанные на т точках полу .еннь.х совместными измерениями.

Представление о приближении аппроксимирующей функции к ис­тинной зависимости получим, оценив погрешности в определении по- стоянныл А и В Такие оценки во^могх» о выполнит ь. если обрати гь вни­мание на го, что оценки (2 26) и (2.27) для А и В — точно определенные функции измеренных значений у_{,..., >„,. Погрешности А и В определя отся рг счетом по правилам косвенных измерений, исходя из погрешно­стей измерении 7Щ Av_m.

Среднее пвадратическое отклонение погрешности измерения а_у мо­жет бы гь известно до начала измерений либо вы числено по результ а­там измерения как

а* =-Ц£[>,-(A + Bxtf. (2 29)

т -L /=1

Тогда

<^=<nl>,7G (2 30)

и

c²_B=m<jl/G, (2 31)

где G определено по (2 28)

Пример. Несбхомимо установить -ависимосто сопротивления мета^шического про­водника ол температуры Известно что теоретик кая зависимого о R, - f(t) имеет вид

R, = Ло(11 at) (2 32)

где Я₀ — сопротивление проводника при 0°С a — темпераг рный к< эффициент . лпро- гар 1ения проводника, t — тем! ерат;,ра Преобразуем (2.32) к вчду

R,-A+Bi,

где А = Ro, В - R_ua

Результаты я >вместных измерена

t,->С 10 20 30 40

Л. Ом ... 10.3 10.9 113 11,6

Расчст по (2 26) и (2 27) дае : следующи значения А и В'.

А = 9,9Ь Ом В = 0,043 Ом/град По «ценке на осн >ве па_.'ортных данных средства и мерения О^ = 0 2 Ом Расчет ио (2.30) и (2.31» дает

а | = 0 24 Ом; с_в = 0,009 Ом/град

И о« ончательно

А = (9,95±0,2ч) Ом: В - (0,043и. 009) Ом'град.

Задача аппроксимации результатов совместных измерении линей­ной зависимостью только частный случай широкою класса задгч по аппроксимации результатов измерений, многие из коюрых могут ре­шаться методом наименьших "вадрагов Гак на основе этого мето ia решается задача аппроксимации зависимостей, вырилаемых полинома­ми вчда у = А + Вх + Сх" + ... -*- Их", экспоненциальными ф> нкгиями вида у = Ле^в (где А, В, С,..., Н — постоянные) Конкретные методики аппроксимации этих и других зависимостей рассматриваются в специ­альной литературе