2.3 Случайные пог решности вероятностное описание результатов и погрешностей

Koi да при проведение с одинаковой тщательи >стъю и в одинаковых ус­ловиях >юв'Орных наб.1юдений одной и той же постоянной величины по­лучаем результаты, отли .ающиеся дру! от друга это свидетельств< ет о на­личии в них случайных погрешнос. ей. Каждая такая погрешность возникает вследствие одновременною воздействия на результат шблюления многих тучайных воз.иущени! [ и :ама является случайной величиной В этом случае пред сказ k ib резу ль гат отдельного наблюдения и исправить его введени­ем поправки невозможно Можно лишь с определенной долей уверенно­сти у 1вержда> ь что истинное шачени,- измеряемой величины находится в пределах ^азбриса результат ов наблюдений ОТ Jfmiii ДО Хтаг, ГДв Хгат, Хгм — соответственно, кижняя и верхняя границы разор оса Однако остается иемсным, какова вероягность появления toio или иною значения погрешности, какое из множества тежащих в этой области значений величины принято за результат измерения и какими показате­лями охарактеризовать случайную погрешность резулыата. Дня otbl-i а на эти вопросы требуется принципиально иной, чем при анализе систе матических погрешностей, подход. Подход этот основывается на рас­смотрении результатов наблюдений, результатов измерений и случай­ных погрешностей как случайных величин Методы теории вероятностей и математической статистики мозвеяют установить вероятностные (статистические) закономерности появление случайных погрешностей и на основании этих закономерностей дать количественные оценки ре­зультата измерения и ею случайной погрешности.

Для характ еристики свойств случайной величины в теории вероят­ностей используюI понятие закона распределения вероя гностей случай­ной величины Различают две ф^рмы описания закона распределения тгаралъную и диф<] ерендиальную. В м<грологии преимущественно используется дифферен иальная форма — закон распределения плотно­сти вероятностей случайной величины

Рассмотрим формирование дифференциал! ного закона на три мере измерений с мно ократными наб юдениями Пусть произведено п по- cj ie звательных наблю (ении одной и той же величины х и иолучена группа нао'аодений х_их₂,х₃,..., х_г Каждое лз значений х, содержит ту или иную i лучайную noi решность Расположим рез; льтаты наблюдений в порядке их возрастания ОТ JCmim до Лтах И НаЙДсМ размах ряда L = Гтах - JCmir. Разде­лив размах ряда на к равных интервагов А/ = L/k, подсчитаем ко­личество наблюдений щ п гадающих в каждый интервал i [зобразим полученные результаты графически нанеся на оси абсцисс значения физической величины и обозначив границы итервалов, а по оси ор­динат — относительную частоту попаданий п_к/п. Построив на диаграм­ме прямоугольники основанием которых является ширина интервалов, а

рология стандаггизация и технические ср □ а измерении

Таолица 21

Номер интервала	I	2	3	4	5
	5	10	18	11	6
	0 1	02	ОЗЪ	0 22	0 12

высокой п_к/п, получим дистограмму, дан-

щук представл яие о плотности распределе­ния рез} п>татив наб подений в данном опыте На рис. 2 4 показав а полученная в од­ном из опытов гистограмма построе иная на основании результатов 50 наблюдений, сгруппированных в табл 2.1

В данном опыте в первый и последующие ин герваль- попадает соот­ветственно 0,1; 0,?; 0 36 0 22 и 0,12 от общего количества наблюдений при jtom очевидно, что су мма этих чисел равна единице

Если распре геление случайной величины х статистически устойчиво то можно ожидать, что при пов1орных гериях наблюдений той же ве­личины. в тех же условиях, относительные частоты попаданий в каждый иьгервал будут близки к первеначгльным. Это означает, что единожды построив гилограмму, при последующих сериях наб подений м жно с определенной долей yeepeHHOvTH заса^ее предсказать распределение ре­зультатов наблюдений по i нтервала м Приняв общую площадь, огра­ничен^ ю контуром гистограммы и осью абсцисс, за единицу, S_v = 1, отнссительнз'ю частоту попадании результа гов наблюдений в тот или иной ин ервал можно определить как отношение площади сиответст вующа о прямоул олььика шириной Д/ к общей плошади

-
0,1	0,?	0.А5	022	0,12
	|^Л/,				X
		L

0,4 - 0,3 OJ 0,1

Рис. 2.4 Гистограмма

При бесконечном увеличении числа наблюдений п -> ои и беско­нечном уменьшении ширины интервалов А' -* 0, ступенчатая кривая,

it, п

0,4

Jm

0,3

0,2

а

0,1

3

jf(x)dx = 1.

oi ибающая гистограмму, перейдет в плавную кривую /(л) (рис. 2.5), называе мую кривей ппчтнчети распреде гения вероятн< >.тей спj чайной величина а уравнение, описываюшее ее, — диффе оенциальным законом распределения Коивая плотности распределения веро­ятностей всегда неотрицательна и подчинена условию ьормиров_иния в ви­де

Д1

Рис 2 5 Кривая плотности pac.ipe- дел« иия вероя~чос-ей

За сон распределения даст полную информацию о свойствах случайной величины и позво. нет ответы г. на пс < тавленные вопрос ы о результате изме­рения и ею случайной погрешности Если извесген дифференциальный за­кон распределения случайной величины УГ>), го всрояносгь Р ее попадания в интервал от х, до х₂

Щ

Pjxi <х<л₂}= f(:;)dx

X.

Графически эта вероятность выражается отношением площади, ле­жащей под кривой Дх) в интерва те от х, до х₂ к общей площади огра­ниченной кривой распределения

Кроме непрерывных случайных величин в метрологической практи ке вир», чают< я и ди жретные случайные величины Пример распределе­ния дискрет ной случайной величины приведен на рис. 2,6

Для описания частных свойств случайной 'еличины ис ользуют числовые ; ?рактеристики распределен» й В качестве числовых характеристик выступа ют моменты слу¹ [аиных величин- нача п>ные и центральные. Все они представ ляют собой некоторь е средние значения; причем еал усредняются величина гсчитываемые от начала координат, моменты [азываются начальными, а если от Ц1 игра закона распределения—то центральными

Начальный момент к-го порядка определяется формулами

■МО

т_к = Jx*/(x)rfx;

—ос

Л * ^тк = 1> Щ

I-1

где Pi—вероя! носго появления дискретнои величины

Здесь и ниже первая формула относится к непрерывны! \ в торая к дис! ретным слз чайным величинам

Из начальных моментов наибольший ин .ерес пре к гавляет матема тическое ожидание случайной величины (к = 1),

«о

щ = |д/(х)й?х

(2 4)

щ = -еЗЙ

i-l