- •Содержание
- •Глава 1. Алгебра матриц
- •1.1. Матрицы. Основные определения
- •1.2 Действия над матрицами
- •1.3 Задания для самостоятельной работы по главе 1
- •Глава 2. Определители
- •2.1. Перестановки и подстановки
- •2.2. Определители и их свойства
- •2.3. Миноры и алгебраические дополнения
- •2.4. Вычисление определителей n-го порядка
- •2.5. Задания для самостоятельной работы по главе 2
- •Глава 3. Алгебра матриц (продолжение)
- •3.1 Обратная матрица
- •3.2. Ранг матрицы
- •3.3. Линейная зависимость и независимость строк матрицы
- •3.4. Многочленные матрицы
- •3.5. Задания для самостоятельной работы по главе 3
- •Глава 4. Решение системы линейных уравнений
- •4.1. Система линейных уравнений
- •4.2. Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными
- •4.3. Теорема Кронекера-Карелли
- •4.4. Метод Жордана-Гаусса
- •4.5. Однородные системы линейных уравнений
- •4.6. Задания для самостоятельной работы по главе 4
- •Глава 5. Векторные пространства
- •5.1. Понятие векторного пространства
- •5.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •5.3. Базис векторного пространства
- •5.4. Изоморфизм векторных пространств
- •5.5. Преобразование координат при изменении базиса
- •5.6. Евклидово пространство
- •5.7. Ортогональные преобразования
- •5.8. Выпуклые множества
- •5.9. Задания для самостоятельной работы по главе 5
- •Глава 6. Линейные операторы
- •6.1. Определение линейного оператора
- •6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение
- •6.3. Собственный вектор и собственное число линейного оператора
- •6.4. Задания для самостоятельной работы по главе 6
- •Глава 7. Квадратичные формы
- •7.1. Определение квадратичной формы
- •7.2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме
- •7.3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду
- •7.4. Положительно определенные квадратичные формы
- •7.5. Задания для самостоятельной работы по главе 7
- •Глава 8. Применение матричного исчисления к решению некоторых экономических задач
- •8.1. Использование операций над матрицами
- •8.2. Модель планирования производства
- •8.3. Модель планирования материальных затрат
- •8.4. Балансовая модель производства
- •Ответы и указания к заданиям для самостоятельной работы
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Контрольные задания Контрольное задание 1
- •Контрольное задание 2
- •Контрольное задание 3
- •Контрольное задание 4
- •Контрольное задание 5
- •Контрольное задание 6
- •Контрольное задание 7
- •Контрольное задание 8
- •Контрольное задание 9
- •Контрольное задание 10
- •Список литературы
3.5. Задания для самостоятельной работы по главе 3
3.1. Найти обратную матрицу
.
3.2. Найти обратную матрицу порядка n
.
3.3. Найти обратную матрицу порядка n
.
3.4. Найти обратную матрицу порядка n
.
3.5. Найти обратную матрицу
.
3.6. Найти обратную матрицу порядка (n+1)
.
3.7. Найти обратную матрицу порядка n
.
3.8. Как изменится обратная матрица , если в данной матрице :
а) переставить i-ую и j-ую строки?
б) i-ую строку умножить на число с, не равное нулю?
в) к i-ой строке прибавить j-ую, умноженную на число с, или совершить аналогичное преобразование столбцов?
3.9. Найти матрицу , обратную для матрицы , где и – единичные матрицы соответственно порядков k и l, U – произвольная матрица порядка , а все остальные элементы равны нулю.
3.10. Показать, что операция транспонирования матрицы обладает свойствами:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ,
где с – число, а А и В – матрицы.
3.11. Доказать, что если А и В – симметрические квадратные матрицы одинакового порядка, то матрица является симметрической.
3.12. Показать, что для любой матрицы В матрица является симметрической.
3.13. Квадратная матрица порядка n называется ортогональной, если , где Е – единичная матрица. Показать, что для ортогональности квадратной матрицы А необходимо и достаточно любое из следующих условий:
а) столбцы А образуют ортонормированную систему, т.е.
,
где – символ Кронекера, обозначающий 1 при i=j и 0 при ;
б) строки А образуют ортонормированную систему, т.е.
.
3.14. Доказать, что ранг суммы двух матриц не больше суммы их рангов.
3.15. Доказать, что если ранг матрицы А равен r, то минор d, стоящий на пересечении любых r линейно независимых строк и r линейно независимых столбцов этой матрицы, отличен от нуля.
Глава 4. Решение системы линейных уравнений
4.1. Система линейных уравнений
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система m алгебраических уравнений первой степени вида
|
(4.1.1) |
где – неизвестные, подлежащие определению;
– числа, называемые коэффициентами при неизвестных;
– числа, называемые свободными членами.
Решением системы уравнений (4.1.1) называется совокупность n чисел таких, что если в каждое уравнение системы вместо неизвестных подставить эти числа ( вместо , вместо вместо ), то все уравнения обратятся в тождества.
Если система линейных уравнений (4.1.1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. В противном случае система называется несовместной.
Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а система, имеющая более одного решения – неопределенной.
Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если любое решение каждой из них является одновременно решением и другой системы.
Две произвольные несовместные системы считаются эквивалентными.
Системе линейных уравнений (4.1.1) поставим в соответствие матрицу и расширенную матрицу
,
полученную присоединением к матрице А столбца свободных членов.