5.4. Изоморфизм векторных пространств

Определение. Векторные пространства R и R’ называются изоморфными, если между их векторами-элементами можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что если и , где , , то и .

Из определения изоморфизма следует, что если ,... – векторы из R, a ,... – вектора из R', то равенство равносильно равенству . Следовательно, линейно независимым векторам из R соответствуют линейно независимые векторы из R' и обратно.

Пространства различной размерности не могут быть между собой изоморфны. В самом деле, пусть R и R' изоморфны. Тогда максимальное число линейно независимых векторов в R и R' одно и то же, т.е. размерности пространств R и R' равны.

Все пространства, имеющие одну и ту же размерность n, изоморфны между собой.

5.5. Преобразование координат при изменении базиса

Пусть и – два базиса пространства R_n. Каждый вектор можно выразить через векторы :

, ……………………………

(5.5.1)

Выражения (5.5.1) показывают, что новые базисные векторы получаются из старых базисных векторов с помощью матрицы:

,

причем коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрица.

Матрица А называется матрицей перехода от базиса к базису .

Определитель матрицы А отличен от нуля, так как в противном случае ее столбцы, а следовательно, и векторы были бы линейно зависимы.

Рассмотрим, как связаны между собой координаты одного и того же вектора в старом и новом базисах. Пусть

(5.5.2)

и в то же время

(5.5.3)

Подставим в (5.5.3) вместо их выражения из (5.5.1):

(5.5.4)

Из (5.5.2) и (5.5.4) в силу единственности разложения вектора по базису получаем

,

или в матричном виде

X=AX',

(5.5.5)

где , .

Уравнение (5.5.5.) показывает связь между координатами х_j и x'_j вектора в базиcах и , .

Из (5.5.5.) получаем:

X'=А^-1Х

Таким образом, при переходе от базиса к базису координаты вектора преобразуются с помощью матрицы А^-1, являющейся обратной к транспонированной матрице, задающей преобразование базисов.

Пример. В базисе , , пространства R₃ заданы векторы , , , . Показать, что векторы образует базис. Найти координаты вектора в базисе . Выразить связь между базисами и .

Решение. Векторы образуют базис пространства R₃, если они линейно независимы. Векторы линейно независимы если векторное равенство выполняется тогда и только тогда, когда , , . Найдем решение векторного равенства

методом Жордана-Гаусса.

откуда .

Система векторов линейно независима и, следовательно, образует базис в R₃.

Выразим каждый вектор через векторы :

Матрица А перехода от базиса к базису имеет вид:

.

Вычислив

,

определим координаты вектора в новом базисе

.

Таким образом, в базисе вектор определяется координатами .

Связь между базисом и базисом определяется из следующих соотношений:

,

,

,

или в матричном виде:

E=XA,

где

.

Решение данного матричного уравнения имеет вид X=A^-1, откуда получаем

,

,

,

Данные соотношения выражают связь между базисами.