5.9. Задания для самостоятельной работы по главе 5

5.1. Доказать, что скалярное произведение двух любых векторов

евклидова пространства тогда и только тогда выражается равенством

,

когда базис, в котором взяты координаты, является ортонормированным.

5.2. Проверить, что векторы системы ортогональны, и дополнить их до ортогонального базиса.

5.3. Найти векторы, дополняющие систему векторов до ортонормированного базиса

5.4. Построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов

5.5. Найти расстояние между двумя плоскостями

где

5.6. Пользуясь неравенством Коши-Буняковского, доказать неравенство

для любых вещественных чисел .

5.7. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника, вершины которого заданы своими координатами

5.8. Определителем Грама векторов евклидова пространства E_n называется определитель

Доказать, что определитель Грама не изменяется при применении к векторам процесса ортогонализации, т.е. если в процессе ортогонализации векторы перейдут в векторы , то

Пользуясь этим, выяснить геометрический смысл и , предполагая векторы линейно независимыми.

5.9. Доказать, что существует единственное преобразование трехмерного пространства, переводящего векторы соответственно в , и найти матрицу этого преобразования в том же базисе, в котором даны координаты всех векторов.

5.10. Доказать, что существует единственное преобразование трехмерного пространства, переводящего векторы соответственно в , и найти матрицу этого преобразования в том же базисе, в котором даны координаты всех векторов.

5.11. Линейное преобразование в базисе имеет матрицу

Найти матрицу этого же преобразования в базисе:

.

5.12. Линейное преобразование в базисе

имеет матрицу

Найти его матрицу в базисе

5.13. Найти канонический вид B ортогональной матрицы A и ортогональную матрицу Q такую, что

5.14. Доказать, что для выполнения равенства , где – числа и векторы, необходимо и достаточно, чтобы было или , или .

5.15. Доказать теорему: для того чтобы две линейно независимые системы с одинаковым числом векторов n-мерного пространства R_n были эквивалентны (или порождали одно и то же подпространство), необходимо и достаточно, чтобы в любом базисе соответствующие друг другу миноры матриц А и В из координатных строк векторов этих систем были пропорциональны.

Глава 6. Линейные операторы

6.1. Определение линейного оператора

Определение. Оператором , отображающим векторное пространство в векторное пространство , называется функция, которая каждому вектору ставит в соответствие единственный вектор , что символически записывается в виде . Вектор называется образом вектора при отображении , а вектор – прообразом вектора .

Оператор называется линейным, если:

1) для любых из (условие аддитивности);

2) для любого , где – произвольное число (условие однородности);

При =0 имеем , т.е. линейный оператор преобразует нулевой вектор в нулевой. Рассмотрим связь между координатами вектора и координатами вектора . Для этого выразим векторы и соответственно через базис пространства и базис пространства :

	(6.1.1)
	(6.1.2)

Тогда имеем

(6.1.3)

Из выражения (6.1.3) следует, что для задания оператора достаточно задать образы базисных векторов .

Разложим каждый вектор по базису пространства :

(6.1.4)

Матрица из коэффициентов разложений имеет вид:

(6.1.5)

Из равенства (6.1.3) и (6.1.5) получаем:

откуда в силу единственности разложения вектора по базису следует, что

(6.1.6)

или в матричном виде

Y=АХ

(6.1.7

где

Матрица А называется матрицей линейного оператора .

Рассмотрим случай, когда оператор задается в пространстве и отображает это пространство на себя.

Тогда уравнения (6.1.4) принимают вид:

и матрицей оператора является квадратная матрица .

Формулы (6.1.6) принимают вид:

Отсюда следует, что всякому линейному оператору в пространстве при выбранном базисе соответствует некоторая квадратная матрица .

Справедливо и обратное утверждение: всякой матрице при заданном базисе соответствует некоторый линейный оператор .

Таким образом, можно установить взаимно однозначное соответствие между линейными операторами в пространстве и матрицами А порядка n.

Если , то – невырожденный оператор.

Оператор называется обратным по отношению к оператору , если:

где – тождественный оператор, матрицей которого является единичная матрица порядка n.

Рассмотрим, как изменяется матрица линейного оператора при переходе к новому базису в пространстве .

Пусть в пространстве заданы два базиса и , связь между которыми задается невырожденной матрицей перехода . Тогда связь между координатами векторов и в новом и старом базисах можно выразить в виде следующих матричных уравнений:

Х=ТХ*, Y=ТY*.

Учитывая, что Y=АХ, получим

ТY*=АТХ,

откуда Y*=Т^-1АТХ*.

Обозначив матрицу оператора А в новом базисе через А*=Т^-1АТ, получим Y*=А*Х*.

Матрица А* называется преобразующей матрицей.

Отметим, что матрица А и А* описывают действие одного и того же оператора в разных базисах.

Покажем, что матрицы А и А* подобны, то есть |А*|=|А|. Действительно,

|A*|=|Т^-1АТ|=|Т^-1||A||T|=|A|.

Из выведенного соотношения следует, что определитель матрицы А линейного преобразования не зависит от выбора базиса в .

Примеры линейных операторов.

1. Если для каждого вектора , то оператор является линейным и называется нулевым оператором . Так как для любого базиса , то матрицей нулевого оператора является нулевая матрица.

2. Если для каждого вектора , то оператор является линейным и называется тождественным оператором . Очевидно, что матрицей тождественного оператора является единичная матрица Е.

3. Если для каждого вектора , то оператор является линейным и называется оператором подобия. Так как для любого базиса , то матрица оператора подобия равна .