7.3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду

Теорема (о приведении действительной квадратичной формы к главным осям). Всякая действительная квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство. Применим метод индукции по числу n переменных. При n=1 утверждение очевидно. Допустим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы от n-1 переменных. Рассмотрим квадратичную форму от n переменных: . Пусть – нормированный собственный вектор матрицы С, соответствующий собственному значению . Примем за первый столбец ортогональной матрицы

.

Матрица преобразованной квадратичной формы есть . Так как первый столбец матрицы Т есть собственный вектор , то . Тогда

так как столбцы матрицы Т ортогональны и нормированы.

Матрица симметрична, поэтому имеет вид

,

где – симметричная матрица.

Рассмотрим квадратичную форму с матрицей В. В силу индуктивного предположения найдется ортогональная матрица Q такая, что

.

Положим .

Матрица Q₁ ортогональна, так как ее первый столбец нормирован и ортогонален остальным столбцам, а остальные столбцы попарно ортогональны и нормированы в силу ортогональности матрицы Q. Тогда

.

Теорема доказана.

Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, определяется не однозначно. Однако из доказанной теоремы следует, что каково бы ни было ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму , коэффициенты этого канонического вида равны собственным числам матрицы С, причем каждое собственное число повторяется столько раз, какова его кратность как корня характеристического уравнения.

Пример. Квадратичную форму

привести к каноническому виду.

Решение. Определяем собственные значения матрицы квадратичной формы

.

Характеристическое уравнение имеет вид

,

откуда .

Таким образом, канонический вид квадратичной формы следующий:

.

Найдем ортогональное преобразование, осуществляющее приведение к каноническому виду.

Решая уравнение , найдем собственные векторы

Преобразуя данную систему векторов в ортонормируемую систему, получим

.

Данная система векторов определяет ортогональную матрицу преобразования переменных . Действительно, Х=ТY, откуда .

Поэтому

7.4. Положительно определенные квадратичные формы

Определение. Квадратичная форма называется положительно определенной, если все ее значения при вещественных значениях переменных, не равных одновременно нулю, положительны. Очевидно, что квадратичная форма положительно определена.

Определение. Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если все ее значения отрицательны, за исключением ненулевого значения при ненулевых значениях переменных.

Определение. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если она не принимает отрицательных (положительных) значений.

Квадратичные формы, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, называются неопределенными.

При n=1 квадратичная форма либо положительно определена (при a₁₁>0), либо отрицательно определена (при a₁₁<0). Неопределенные формы появляются при n≥2.

Теорема (критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы). Для того чтобы квадратичная форма

была положительно определена, необходимо и достаточно выполнение условий:

.

Доказательство. Используем индукцию по числу переменных, входящих в . Для квадратичной формы, зависящей от одной переменной , и утверждение теоремы очевидно. Положим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы , зависящей от n-1 переменных .

1. Доказательство необходимости. Пусть

положительно определена. Тогда квадратичная форма

будет положительно определенной, так как если , то при .

По предположению индукции все главные миноры формы положительны, т.е.

.

Остается доказать, что .

Положительно определенная квадратичная форма невырожденным линейным преобразованием Х=ВY приводится к каноническому виду

.

Квадратичной форме соответствует диагональная матрица

с определителем .

Линейное преобразование, заданное невырожденной матрицей В, преобразует матрицу С квадратичной формы в матрицу . Но так как то .

2. Доказательство достаточности. Предположим, что все главные миноры квадратичной формы положительны: .

Докажем, что квадратичная форма положительно определена. Из предположения индукции вытекает положительная определенность квадратичной формы . Поэтому невырожденным линейным преобразованием приводится к нормальному виду . Сделав соответствующую замену переменных и положив , получим

,

где – какие-то новые коэффициенты.

Осуществляя замену переменных , получим

.

Определитель матрицы этой квадратичной формы равен , а так как знак его совпадает со знаком , то , и, значит, квадратичная форма – положительно определена. Теорема доказана.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы

была положительно определенной, а значит, чтобы все главные миноры матрицы

были положительны. Но это означает, что

т.е. что знаки главных миноров матрицы C чередуются, начиная со знака минус.

Пример. Вычислить, является ли квадратичная форма положительно (отрицательно) определенной или неопределенной.

а) .

Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид:

.

Вычислим главные миноры матрицы С:

Квадратичная форма положительно определена.

б) .

Решение. Вычислим главные миноры матрицы

Квадратичная форма является неопределенной.

В заключение сформулируем следующую теорему.

Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма невырожденными линейными преобразованиями, не зависит от выбора этих преобразований.