- •Содержание
- •Глава 1. Алгебра матриц
- •1.1. Матрицы. Основные определения
- •1.2 Действия над матрицами
- •1.3 Задания для самостоятельной работы по главе 1
- •Глава 2. Определители
- •2.1. Перестановки и подстановки
- •2.2. Определители и их свойства
- •2.3. Миноры и алгебраические дополнения
- •2.4. Вычисление определителей n-го порядка
- •2.5. Задания для самостоятельной работы по главе 2
- •Глава 3. Алгебра матриц (продолжение)
- •3.1 Обратная матрица
- •3.2. Ранг матрицы
- •3.3. Линейная зависимость и независимость строк матрицы
- •3.4. Многочленные матрицы
- •3.5. Задания для самостоятельной работы по главе 3
- •Глава 4. Решение системы линейных уравнений
- •4.1. Система линейных уравнений
- •4.2. Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными
- •4.3. Теорема Кронекера-Карелли
- •4.4. Метод Жордана-Гаусса
- •4.5. Однородные системы линейных уравнений
- •4.6. Задания для самостоятельной работы по главе 4
- •Глава 5. Векторные пространства
- •5.1. Понятие векторного пространства
- •5.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •5.3. Базис векторного пространства
- •5.4. Изоморфизм векторных пространств
- •5.5. Преобразование координат при изменении базиса
- •5.6. Евклидово пространство
- •5.7. Ортогональные преобразования
- •5.8. Выпуклые множества
- •5.9. Задания для самостоятельной работы по главе 5
- •Глава 6. Линейные операторы
- •6.1. Определение линейного оператора
- •6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение
- •6.3. Собственный вектор и собственное число линейного оператора
- •6.4. Задания для самостоятельной работы по главе 6
- •Глава 7. Квадратичные формы
- •7.1. Определение квадратичной формы
- •7.2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме
- •7.3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду
- •7.4. Положительно определенные квадратичные формы
- •7.5. Задания для самостоятельной работы по главе 7
- •Глава 8. Применение матричного исчисления к решению некоторых экономических задач
- •8.1. Использование операций над матрицами
- •8.2. Модель планирования производства
- •8.3. Модель планирования материальных затрат
- •8.4. Балансовая модель производства
- •Ответы и указания к заданиям для самостоятельной работы
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Контрольные задания Контрольное задание 1
- •Контрольное задание 2
- •Контрольное задание 3
- •Контрольное задание 4
- •Контрольное задание 5
- •Контрольное задание 6
- •Контрольное задание 7
- •Контрольное задание 8
- •Контрольное задание 9
- •Контрольное задание 10
- •Список литературы
6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение
Рассмотрим квадратную матрицу
Как было показано(6.1.), все матрицы, подобные матрице А, т.е. все матрицы вида А*= Т-1АТ, где Т – любая невырожденная матрица (квадратная), обладают одним и тем же определителем |A|=|A*|.
Подобные матрицы обладают еще одной общей для всех них характеристикой.
Наряду с матрицей А рассмотрим матрицу
,
которая образована из А заменой диагональных элементов aij элементами , где – произвольное число. Определитель этой матрицы
представляет собой многочлен степени n относительно (коэффициент при равен (-1)n). Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А.
Покажем, что все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, т.е. что , где А*=Т-1АТ.
Для этого воспользуемся тождеством Е*= Т-1ЕТ. Тогда, заменяя в матрице матрицы А* и Е соответственно на Т-1АТ и Т-1ЕТ, получаем:
.
Таким образом, все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен .
Алгебраическое уравнение n-й степени называется характеристическим уравнением матрицы А, а его корни – характеристическими числами.
Характеристическое уравнение имеет вид
где – след k-го порядка матрицы А.
Следом k-го порядка называется сумма возможных главных миноров k-ого порядка:
Характеристическое уравнение имеет n не обязательно различных корней . Каждому характеристическому корню соответствует собственный вектор с точностью до постоянного множителя.
Сумма характеристических корней равна следу матрицы А:
,
а произведение характеристических корней равно определителю матрицы А:
Число ненулевых корней совпадает с рангом матрицы линейного оператора.
Одним из методов для нахождения коэффициентов характеристического уравнения является методом Фаддеева. Пусть линейный оператор задан матрицей А. Тогда коэффициенты вычисляются по следующей схеме:
Пример. Найти собственные значения линейного оператора , заданного матрицей
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид
где
В итоге получаем следующее характеристическое уравнение:
или откуда – собственные значения линейного оператора .
Теорема Гамильтона-Кэли. Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена.
Доказательство. Рассмотрим многочлен
. |
(6.2.1) |
Пусть матрица В является присоединенной к матрице . Тогда имеем
. |
(6.2.2) |
Элементами матрицы В являются многочлены от степени не выше (n-1). Поэтому матрицу В можно представить в следующем виде:
|
(6.2.3) |
Подставляя выражения матрицы В из (6.2.3) и многочлена из (6.2.1) в равенство (6.2.2), получим
или
|
(6.2.4) |
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства (6.2.4), получим
Умножим равенства (6.2.5) соответственно на и сложим полученные результаты:
или
,
откуда следует, что . Теорема доказана.
Пример. Линейный оператор задан матрицей
.
Найти и показать, что .
Решение. Составим матрицу
Многочлен имеет вид
.
Тогда
.