12.8. Энергетический спектр случайного процесса

Аналогично описанию энергетического спектра G() детерминированного колебанияs(t) можно осуществить спектральное описание случайного процесса.

Преобразование Фурье нельзя применить непосредственно к случайной функции, поскольку она не детерминирована. Однако для любой из ее реализаций x (t) конечной длительностиТ_рможно найти преобразование ФурьеG_x(). При этом, в соответствии с Теоремой Парсеваля,

,

где G_x() – модуль спектральнойgплотности реализации . Средняя мощность реализацииx(t) составляет

где – спектральная плотность мощности реализации случайного процесса.

Если продолжительность реализации неограниченно возрастает, то соотношение принимает вид

или

.

Соотношение для энергии при неограниченно возрастающем T_v может иметь смысл, когда энергия любой из реализаций ограничена. Поскольку стационарные процессы на неограниченном интервале обладают неограниченной энергией, при их анализе целесообразно пользоваться спектральной плотностью мощности, а не энергии. Спектральную плотность мощности случайного процесса называют его энергетическим спектром.

Спектральной плотностью мощности случайного процесса является среднее значение спектральных плотностей отдельных реализаций:

.

Энергетический спектр, естественно, не несет в себе сведений о фазовых соотношениях. Поэтому восстановить реализации процесса как функции времени по энергетическому спектру принципиально невозможно.

Практически вычисление спектральной плотности мощности случайного процесса в соответствии с может встретить затруднения, так как она выражает операцию обработки множества спектральных функций, полученных из совокупности реализаций. Для эргодических процессов единственная, в пределе – неограниченная реализация является достаточной для полной характеристики случайного процесса. Поэтому для стационарного эргодического процесса формула может быть записана следующем виде

.

Квадрат модуля спектральной функции может быть представлен произведением спектральной плотности на сопряженную с ней комплексную величину

где и

так как x(t) функция, описывающая реализацию на интервале. Вне этого интервала она равна нулю. Тогда можно преобразовать

.

Вводя обозначение t=+, можно получить

.

Операции интегрирования по и взятия предела допустимо поменять местами. В результате

.

В квадратные скобки заключено выражение для функции автокорреляции K(). С учетом этого

.

Таким образом, для эргодического стационарного процесса спектральная плотность мощности флуктуации может быть найдена прямым преобразованием Фурье функции корреляции случайного процесса, заданной или вычисленной по одной реализации.

В соответствии с общими соотношениями для преобразований Фурье обратное преобразование спектральной плотности дает функцию корреляции

.

Так как функция корреляции четная, преобразуя и , можно получить

Следовательно, располагая функцией автокорреляции случайного процесса, можно вычислить такую важную его характеристику, как энергетический спектр. По известному энергетическому спектру можно получить корреляционную функцию случайного процесса.

Однозначно связанные между собой корреляционная функция и энергетический спектр характеризуют случайный процесс в двух аспектах – статистической связью мгновенных значений, разделенных интервалом т, и спектрально. Здесь имеется аналогия с временным и спектральным представлениями детерминированных процессов. Однако при детерминированных процессах связь между мгновенными значениями жесткая, т.е. функциональная, в то время как при случайных процессах эта связь статистическая. Поэтому и спектр случайного процесса может быть задан только энергетически, в отличие от случая детерминированного процесса, когда спектр может быть задан зависимостями от частоты амплитуд и фаз.

Энергетический спектр позволяет вычислить дисперсию процесса. Поскольку

,

то из второго соотношения следует, что

.

Однако всегда в основе соотношений находятся интегральные преобразования Фурье. Различие состоит в коэффициентах при прямом и обратном преобразованиях.

Если случайный процесс Z(t) образуется суммой двух (в общем случае и большим числом) случайных процессовX(t) иY(t), стационарных и стационарно связанных

,

то энергетический спектр находят преобразованием функции корреляции R_z(x). В результате спектральная плотность процесса может быть получена в виде

.

где G_x() иG_u() – спектральные плотности процессовX(t) иY(t);G_xy() иN_yx() –взаимные спектральные плотности, получаемые преобразованием Фурье функций взаимной корреляции. В частном случае, когда процессыX(t) иY(t) некоррелированы, т.е.K_xy()K_yx()=0, формула упрощается

.