12.1. Одномерный закон распределения мгновенных значений случайной функции и связанные с ним основные характеристики

Случайный процесс X(t) такой, значения которого в любой момент времени не могут быть точно предсказаны, т.е. являются случайными величинами. Определенный видx(t), принятый случайным процессомX(t) в результате одного, однократного опыта, называют реализацией случайной функции или процесса рис. 12.1.

Рис. 12.1. Реализация x(t) случайного процессаX(t)

В результате многократного наблюдения случайного процесса можно получить множество реализаций, внешне совершенно не похожих одна на другую. Для получения реализации процесса, естественно, необходима повторяемость условий наблюдения. В некоторых случаях повторяемость условий испытаний – параметров источника колебаний, формирующего случайный процесс, – не может быть соблюдена.

Случайный процесс полностью характеризуется множеством реализаций, образующих ансамбль. Понятием ансамбля, состоящего из бесконечно большого или конечного, но достаточно большого числа реализаций, удобно пользоваться при установлении статистических закономерностей, свойственных случайным процессам. Совокупность мгновенных значений случайного процесса, заданного ансамблем, в некоторый момент времени, называют сечением случайно го процесса.

Рис.12.2. Ансамбль реализаций случайного процесса

Если зафиксировать произвольный момент времени t₁ рис. 12.2, т.е. получить сечение случайного процесса, то в этом сечении может быть вычислено распределение вероятностиР_хнепрерывной случайной величиныX(t₁):

,

где n– число значений величиныХ(t₁), не превосходящих величиныx, т.е. удовлетворяющих условию

,

N –общее число реализацийх(t).

Величину в теории вероятностей называют относительной частотой наступления события, которым в данном случае является выполнение условия . Приближенно при достаточно большомN можно считать, что

.

Во всяком случае экспериментального определения вероятности пользуются именно такой оценкой.

Плотностью распределения вероятностей Р_х(х), или просто плотностью вероятности случайной величиныX(t₁) называется функция

,

т.е. вероятность того, что значение случайного процесса X(t₁) попадет в окрестностьxточкиxприx0. Иначе говоря, плотность распределения вероятностей является производной пох функции распределения .

Выражения или полностью (в статистическом смысле) характеризуют значения случайной функции X(t) в один заданный момент времениt₁и выражают ее одномерный закон распределения его вероятностей. Если моментt₁ выбирать произвольно, то можно установить зависимость одномерного закона распределения вероятностей в виде функции времениР(х,t) илиw(x,t).

Если закон распределения зависит от рассматриваемого момента времениt, то говорят о нестационарности случайного процесса, о неоднородности его протекания во времени. Необходимым условием стационарности процесса является независимость одномерного закона распределения от времени, т.е. выполнение одного из равенств:

P(x,t)=P(x)=const(t), w(x,t)=w(x)=const(t).

Одномерный законы распределения вероятностей и его плотность удовлетворяют условию нормировки:

.

Условие нормировки отражает достоверность (точнее – степень уверенности) того, что величина X(t₁) обязательно (с вероятностью 1) примет одно из значений, находящихся в интервале от -до +, т.е. составляющих полное множество возможных значенийX(t).

Наряду с вероятностными характеристиками Р(х) иw(х) случайной величиныX(t₁) рассматриваются ее числовые характеристики, или моменты распределения случайной величины.

Среднее значение случайной величины, или момент первого порядка

называют математическим ожиданием случайной величины. Угловые скобки в означает операцию усреднения случайной величиныX(t₁) по ансамблю (по множеству) реализаций.

По определению момент первого порядка вычисляется на основании плотности распределения

.

Среднее значение квадрата случайной величины, или момент второго порядка

это мощность колебания, которая выделяется на единичной нагрузке. По определению момент второго порядка определяется как математическое ожидание квадрата случайной величины

.

Вычитая из случайной величины X(t₁) ее среднее значение, можно получить новую, так называемую центрированную случайную величину

.

Очевидно, что

Среднее значение квадрата центрированной случайной величины – это ее дисперсия

.

Дисперсия характеризует мощность флуктуаций случайной величины, т.е. выделяемую на единичной нагрузке мощность ее отклонений от среднего значения. Нетрудно установить, что

.

По аналогии с дисперсия случайной величины X(t₁), численно равная моменту второго порядка центрированной случайной величины, может быть вычислена как

,

где – плотность распределения вероятностей случайной величины.

Поскольку Х(t₁) отличается отна неслучайную величину. Поэтому законы распределенияиотличаются лишь смещением пох:

.

Так как t₁– произвольный момент времени, то числовые характеристики можно понимать как функции времени:M₁{X}=M₁(t),M₂{X}=M₂(t),M₂{}=²(t).

Для стационарного процесса эти величины от времени не зависят.