12.2. Многомерный закон распределения мгновенных значении случайной функции и связанные с ним основные характеристики

Статистические характеристики процесса Х(t) в произвольный момент времени не дают полного описания процесса: они не отражает статистической связи между мгновенными значениями случайной функции, взятыми в разные моменты времени. Более полно случайный процесс может быть описан системой случайных величин {Х_i}={X(t₁), X(t₂), …X(t_i), …X(t_n),}, отображающих значения случайного процесса в сеченияхt₁, t₂,...,t_n. Описание случайной функции будет тем более полным, чем большее число сечений процесса будет учтено. А полной статистической характеристикой будет совместное распределение вероятности, плотность которой представляется в виде

,

где х_i– значения, принимаемые случайной величинойХ_i.

Соотношение выражает многомерный закон распределения системы случайных величин {Х_i}. Эта система при неограниченном увеличенииnэквивалента случайной функцииX(t), а многомерный (в пределе бесконечномерный) закон распределения полностью характеризует ее статистические свойства. Зависимость должна удовлетворять условию нормировки

Если рассматриваемые значения случайной функции X(t₁), X(t₂), …X(t_i), …X(t_n) статистически независимы, многомерное распределение вида распадается на произведение одномерных плотностей распределения

Однако такое упрощение закона распределения допустимо лишь в отдельных частных случаях, например, когда интервалы времени, разделяющие сечения случайной функции, настолько велики, что можно пренебречь статистическими связями между ее мгновенными значениями (процесс забывает свои предыдущие значения). Но возможна и другая ситуация. Действительно, выше уже обсуждалась теорема В.А.Котельникова, в соответствии с которой процесс, в том числе и случайный, имеет финитный спектр, ограниченный частотой F_max, полно и однозначно представляется выборкой своих мгновенных значений, взятых с частотой 2F_max. Это значит, что совместное распределение вероятностей размерностьюn=2F_maxT, гдеТ– длительность реализации случайного процессаX(t), полностью определяет этот процесс в статистическом смысле.

Многомерному закону распределения соответствует совокупность смешанных моментов, или моментных функций, которая характеризует случайную функцию.

Многомерная плотность распределения вероятностей позволяет найти одномерную плотность вероятности w(xi) случайной функции в любом сеченииt₁интегрированием по всемх, кромех_i

.

Обратное не верно, т.е. многомерную плотность вероятности по одномерной найти невозможно, за исключением случая, когда применима формула .

Используя можно вычислить вероятность того, что случайные величины Х₁,Х₂, …Х_nпримут значения в интервалах,, …. Эта вероятность равна

Интервал образует трубку ширинойхоколо выборочных значений реализации случайного процесса, как на рис. Таким образом, указывает вероятность, с которой реализация случайного процессаX(t) уложится в полосу, обозначенную на рис. 12.3,аесть плотность вероятности такой реализации.

Рис.12.3. Вероятность реализации случайного процесса

Исчерпывающее определение случайного процесса можно осуществить с помощью многомерного (в пределе бесконечномерного) закона распределения его мгновенных значений. Однако получение таких законов и использование их связано с большими трудностями. Кроме того, в большинстве практически важных задач приходится иметь дело с так называемыми процессами без последействия. Для этого класса процессов характерно то, что статистическая закономерность поведения случайной функции на интервале времени целиком определяется значением функции в начале интервала и его продолжительностью. Предыстория процесса, т.е. поведение функции до начала интервала наблюдения, роли не играет.

Таким образом, для процесса без последействия характерна зависимость вероятности распределения случайной величины X_i=X(t_i) только от значенияx_i-1, принятого случайной функцией в предшествующий заданный моментt_i-1. Такую вероятность принято называть условной и обозначатьP(x_i|x_i-1). Значениях приt<t_i-1на условную вероятностьP(x_i|x_i-1) не влияют.

Величина интервала t_i–t_i-1определяет статистическую связь между мгновенными значениями в рассматриваемых сечениях, поэтому от нее также зависит условная вероятность. Учитывая, что при таком подходе вся последовательность мгновенных значений случайного процесса в заданных и произвольно расположенных на оси времени сечениях образует цепь событий, статистически попарно связанных, можно записатьn-мерную плотность вероятности в следующем виде:

,

где – плотность вероятности перехода случайной функцииX(t) от значенияx_i-1кx_i. Плотность условной вероятностив общем случае является функцией времени. Если процесс стационарен,

Когда, кроме того, все интервалы между сечениями равны, т.е. ,

.

В соответствии с теоремой Байеса плотность условной вероятности может быть^; представлена соотношением

,

где – совместная (двумерная) плотность вероятности двух случайных величинX(t_i-1) иX(t_i);– безусловная (одномерная) плотность вероятности величиныX(t_i-1). Из и следует, что

.

Формула показывает, что для получения исчерпывающей характеристики случайного процесса без последействия, т.е. многомерного (в пределе – бесконечномерного) закона распределения, достаточно задать ее двумерный закон распределения , поскольку числитель выражения содержит произведение таких сомножителей. Одномерные плотности вероятностей, образующие знаменатель, могут быть получены также из двумерных в соответствии с .

Как уже говорилось, частичное описание свойств случайного процесса может быть дано при помощи неслучайных функций времени M₁(t) и²(t). Недостаточность только таких характеристик хорошо видна из сопоставления двух процессов, заданных ансамблями их реализаций и представленных на рис. 12.5.

Рис. 12.5. Нестационарные случайные процессы

Из рис. 12.5, аиб видно, что процессы имеют приблизительно одинаковые средние значенияM₁(t) и дисперсии²(t). Однако характеры протекания этих процессов во времени и их внутренние структуры существенно различны. В первом преобладают медленные изменения во времени, во втором – более быстрые. Таким образом, среднее значение и дисперсия не отражают структуры случайного процесса, быстроты его протекания. Быстрота изменения случайной функции может характеризоваться степенью статистической связи мгновенных значений, взятых в различные моменты времени. Количественно эта связь устанавливается корреляционным моментом

двух случайных величин X(t₁)=X₁иХ(t₂)=Х₂.

Подробнее символическая запись может быть представлена в виде

.

Выражения и показывают, что для вычисления корреляционного момента необходимо располагать двумерным законом распределения. Эти выражения, в отличие от их числовых аналогов в теории вероятностей, являются функциями двух переменных t₁иt₂и потому называются корреляционными или автокорреляционными функциями.

Величина корреляционного момента двух случайных величин не зависит от последовательности, в которой эти величины рассматриваются. Вследствие этого корреляционная функция симметрична относительно t₁иt₂, т.е.

.

Поскольку корреляционная функция отражает статистическую связь между значениями одной и той же случайной функции, взятыми в моменты t₁иt₂, она убывает (не возрасиает) с ростом интервалаt₂-t₁.

Из и следует, что при t₁=t₂= t функция корреляции численно совпадает с дисперсией²(t). Это означает, что корреляционная функция является более полной характеристикой случайного процесса, чем дисперсия, включающей ее как частный случай.

При анализе случайных процессов часто вводят понятие нормированной функции автокорреляции

.

Из следует, что при t₁=t₂

.

Кроме функции корреляции используют более простую и грубую характеристику корреляционной связи значений случайного процесса. Это интервал корреляции, под которым понимают такое значение =t₂-t₁, при котором

,

где – некоторая заданная величина.

Выбор величины может зависеть от условий поставленной задачи. Введение этого понятия позволяет приближенно считать мгновенные значения случайного процессаX(t₁) иХ(t₂) приt₂-t₁некоррелированными.

Корреляционную функцию, построенную для двух случайных процессов X(t) иY(t) и устанавливающую статистическую связь между ними, называют функцией взаимной корреляции.

Пусть две случайные функции X(t) иY(t) заданы совокупностями своих реализаций. Для отдельно взятыхX(t) иY(t) могут быть построены их автокорреляционные функцииK_x(t₁,t₂) иK_y(t₁,t₂). Статистическая связь между процессами может быть оценена с помощью взаимных корреляционных функций:

и

.

При t₁=t₂взаимные корреляционные функции принимают значение мощности взаимодействия отклонений случайных процессовX(t) иY(t) от их средних значений:R_xy(t,t)=R_yx(t,t)=_xy(t).

Аналогично может быть введено понятие нормированной функции взаимной корреляции

Два процесса называют некоррелированным и, если их функция взаимной корреляции равна нулю при любых значениях аргумента, т.е. _xy=0. Это означает, что некоррелированные процессы энергетически не взаимодействуют.

Если для функции корреляции допустимо тождество

,

то для автокорреляционной функции такое утверждение неверно. Автокорреляционная функция убывает с неограниченным ростом интервалаt₂-t₁. Приt₁=t₂=tее значение совпадает с дисперсией. Следовательно, автокорреляционная функция реального случайного процесса может быть сколь угодно близкой к нулю при любых значениях аргументов, исключая их равные значения.

Для нахождения K_xy иK_yx, а такжеK_x иK_v процессыX(t) иY(t) должны быть заданы ансамблями своих реализаций или совместным распределениемw₄(x₁,х₂,у₁,у₂) для любых пар моментов времени. Таким образом, статистические связи случайных процессовX(t) иY(t), как внутренние, так и взаимные, характеризуются четырьмя функциями

K_x(t_l,t₂) иK_y(t_l,t₂),K_xy(t₁,t₂) иR_ux(t₁,t₂).