12.9. Случайный процесс как гармоническое колебание со случайными амплитудой и фазой

Случайное колебание можно представить в виде

где a(t) и(t) – некоторые случайные функции времени.

Представление неоднозначно по отношению к а(t) иФ(t). Однозначность соотношения появляется, если наa(t) и (t) наложить дополнительные условия. Удобно, и это обычно используется, чтобы выражение являлось следствием комплексного представления случайного процесса по Гильберту. Для этого требуется, чтобы выполнялись соотношения

,

где v(t) – случайный процесс, связанный с исходным преобразованием Гильберта:

/

Формула (2.96) представляет случайное колебание s(t) как проекцию на вещественную ось вектора случайной длины (огибающей)S(t), имеющего случайную фазу Ф(t). Колебаниеv(t) – проекция того же вектора на ортогональную ось. Данное представление случайного колебания можно использовать при решении задач статистической радиотехники, если известно, что спектр исходного колебания узкополосный и концентрируется вблизи довольно высокой частоты. Подобные колебания достаточно часто встречаются на практике, например шум на выходе узкополосной избирательной системы усилителя промежуточной частоты локационного приемника. На рис. 12.10 изображено такое колебание. Колебание представляет собой нормальный процесс, внешне близкий к модулированному гармоническому. Закон амплитудной модуляции является медленно меняющейся случайной функцией времени. Фаза колебания также медленно и случайно меняется во времени. В этом случае колебание может быть представлено как

,

где S(t) имеет смысл огибающей колебания со средней частотой₀и случайным сдвигом фазы(t).

Энергетический спектр рассматриваемого узкополосного процесса изображен на рис. 12.11. Его ширина определяется спектром флуктуации амплитуды и фазы. Практически наиболее важным является установление законов распределения амплитуды и фазы этого колебания.

Рис. 12.10. Узкополосный случайный процесс, как квазигармоническое колебание со случайными амплитудой и сдвигом фазы

Рис. 12.11. Энергетический спектр узкополосного процесса

Полагая, что мгновенные значения стационарного колебания (2.98) подчинены нормальному закону распределения, определим плотность вероятности огибающей и сдвига фазы. Для этого представим (2.98) в виде

В силу стационарности закон распределения сохраняется неизменным и нормальным в любые моменты времени, в том числе и в те моменты t_i, когдаcos₀t_iобращается в нуль. Для сеченийU мгновенное значение случайного колебания можно представить в виде

.

Следовательно, эта величина является нормальной.

Поскольку запись стационарного процесса инвариантна в отношении выбора начала отсчета времени, моментам можно приписывать произвольное, в том числе и текущее, значение времени t, и произведениеs(t)cos(t) имеет нормальный закон распределения. Аналогично можно доказать, что и произведениеs(t)sin(t) также распределено нормально. Следовательно, исходный узкополосный нормальный случайный процесс представлен суммой двух ортогональных колебаний с частотой₀ и случайными амплитудами, имеющими нормальный закон распределения

,

где

.

Функции корреляций квадратурных составляющих S₁(t) иS₁(t) случайных соответственно равны

где G_s() – энергетический спектр узкополосного процесса иs(t).

Если процесс s(t) узкополосный и имеет спектрG_s() симметричный относительно₀, то принимают вид:

Следовательно, даже в общем случае несимметричной формы спектра взаимная корреляционная функцияK_s1s2(t) при=0 обращается в нуль. Это означает, что в совпадающие моменты времени случайные процессыS₁(t) иS₂(t) некоррелированы и, поскольку имеют нормальный закон распределения, статистически независимы. В частном случае симметричного энергетического спектра амплитуды ортогональных составляющихS₁(t) иS₂(t) статистически независимы при любом значении. Можно убедиться также, что

.

Одномерные законы распределения вероятностей нормальных случайных величин S₁(t) иS₂(t) описываются формально одинаковыми соотношениями

где ,S₁(t) иS₁(t) ортогональны. Векторная суммаS₁(t) иS₁(t) равнаs(t). Очевидно, для этой суммы выполняется соотношение

.

Представляет интерес распределение вероятностей амплитуды (огибающей) и фазы узкополосного случайного процесса. Для нахождения этих статистических характеристик необходимо определить двумерный закон распределения амплитуды а(t) и фазы(t). Вероятность того, что случайная амплитудаа(t) примет значение, близкое кvcточностью доvпри сдвиге случайной фазы(t)<+, численно равна вероятности совпадения двух событий: амплитуда приcos₀tдолжна принять значение, близкое кv_lа амплитуда приsin₀t– соответственно близкое кv_lрис. 12.12:

Рис. 12.12. К определению законов распределения амплитуды и сдвига фазы узкополосного случайного процесса

Но в силу независимости S₁(t) иS₂(t) правая часть может быть представлена произведением одномерных плотностей распределения значений узкополосного процесса в два момента времени. С учетом

Для записи двумерного закона распределения а(t) и(t) учетом и равенства, очевидно следующего из рис. 2.29

.

При этом из следует

.

Из можно определить плотности одномерных законов распределения вероятностей амплитуды (огибающей) и фазы узкополосного случайного процесса. Так плотность распределения огибающей получается в виде

.

Эта зависимость известна как закон распределения Релея. График плотности распределения приведен на рис. 12.13.

Рис.12.13. Плотность распределения вероятностей огибающей нормально распределенного узкополосного случайного процесса (распределение Релея)

Поскольку речь идет об огибающей, формула имеет смысл при v0, дляv<0 следует считатьw₁(v)=0. Аргумент максимума кривой, изображенной на рис. 2.30 и нормированной к, соответствует точкеv=0,6, а максимальное значение соответствует. Иначе говоря, значения огибающей, близкие к эффективному значению процесса, наиболее вероятны.

Одномерный закон распределения фазы узкополосного случайного процесса определяется аналогично

.

Соотношение устанавливает равномерный закон распределения фазы. График плотности изображен на рис. 12.14.

Рис. 12.14. Плотность вероятности сдвига фазы нормального процесса

Как следует из , взятые в один и тот же момент времени значения а(t) и(t) статистически независимы.

Полученные плотности законов распределения вероятности амплитуды и фазы нормального случайного процесса являются простейшими зависимостями, характеризующими процесс лишь в одном, хотя и произвольном сечении. Полностью нормальное случайное колебание описывается двумерным законом распределения, что эквивалентно заданию корреляционной функции. Кроме того, интерпретация узкополосного нормального процесса как почти гармонического колебания со случайными амплитудой и фазой тождественна заданию двух нормальных случайных процессов S₁(t) иS₂(t). Совместное же распределение мгновенных значений двух нормальных случайных процессовS₁(t) иS₂(t) полyостью характеризуется уже четырехмерным законом распределения случайных величинS₁(t),S₂(t),S₃(t) иS₂(t).

Для четырехмерного закона можно задать корреляционную матрицу. В частном случае симметрии спектра, с помощью можно определить

Элементы матрицы позволяют записать четырехмерный закон распределения случайных величин S₁(t),S₂(t),S₃(t) иS₂(t). Можно осуществить переходпеременным в полярных координатахv,, получив таким образом плотность вероятностей совместного распределения случайных величинa(t),a(t+),(t),(t+)

где

Формула позволяет получить двумерные законы распределения для величин a(t) иa(t+), а также для(t) и(t+). Двумерную плотность распределения вероятностей огибающей получается из в результате двойного интегрирования по(t) и(t+)

где I₀[^.] – функция Бесселя первого рода нулевого порядка мнимого аргумента (модифицированная функция Бесселя).

При больших следует ожидать независимости мгновенных значений огибающейa(t) иa(t+). Проверка по формуле подтверждает это. Действительно,K()0 иK₁₂()0 при. Это значит, что1. С учетом того, чтоI₀(0)=1, получается

.

Иначе говоря, a(t) иa(t+) статистически независимы.

Двумерную плотность распределения фазы можно получить, дважды проинтегрировав по a и a

,

где .

Соотношения и позволяют записать выражения для условных плотностей вероятностей. Так

.

Аналогичным образом, воспользовавшись формулами и , можно получить

.

Двумерные законы распределения значений огибающей и сдвига фазы полностью не определяют статистических свойств колебаний a(t) и(t), поскольку ни то, ни другое не является нормальным. Однако двумерного закона достаточно для получения такой характеристики процесса, как функция корреляции. А по функции корреляции можно найти энергетический спектр. Так как

.

Интегрируя , то можно получить

,

где

,

– соответственно полные эллиптические интегралы второго и первого рода;

.

Автокорреляционная функция огибающей, выраженной соотношением , может быть представлена рядом по степеням q

.

Асимптотическое представление K_a() быстро сходится поq. Поэтому достаточно точной для вычисления функции корреляции огибающее оказывается приближенная формула

.

В частном случае симметричного спектра, когда R_()=0,aавтокорреляционная функция огибающей выражается через автокорреляционную функцию самого процесса

Вычисление корреляционной функции K_() аналитически затруднительно. Более простое соотношение получается для косинуса случайной фазы: