Упражнения к разделу 12

12.1. Экспериментально определить плотность распределения вероятностей случайного процесса, заданного выборкой своих дискретных по времени значений.

Экспериментально плотность распределения вероятностей определяется по гистограмме: область Xслучайных значений, составляющих выборку процессаx_n=x(t=nt)n1:N, разбивается наКинтервалов шириной_k=Х/Ки подсчитывается относительная частота попаданий случайной величиныx_nв каждый интервал. Эта величина отождествляется с дифференциальной вероятностьюp_k_k, которая стремится к плотности вероятностив точкеx=x_k. При конечномNотносительная частотаявляется случайной величиной. Математическое ожидание этой величины равно дифференциальной вероятности, а дисперсия. Для получения представительной оценки плотности распределения нужно так спланировать эксперимент, чтобы среднеквадратический разброс оценок средних частотp_kбыл бы не больше некоторой наперед заданной величины. Например, составлял быот среднего значения. Для этого нужно заранее выбрать объем выборкиNтаким, чтобы

.

12.2. Определить плотность вероятности нормального случайного процесса x, прошедшего амплитудный детектор, т.е. найти оценкуW(y) приy=|x|. Объяснить полученный результат.

12.2. Найти оценку плотности вероятности фазы нормального случайного процесса. Для этого учесть, что нормальный случайный процесс может быть представлен суммой двух ортогональных квадратурных компонент, также нормальных.

,

а его фаза равна

.

12.3. Определить плотность вероятности суммы нормального случайного процесса xи детерминированного процесса, т.е. случайного процесса с ненулевым математическим ожиданием. Как изменяется форма плотности вероятностей при уменьшении отношения дисперсии случайного процесса к квадрату его математического ожидания, т.е. отношение мощностей флуктуационной и детерминированной составляющих

.

12.4. Экспериментально определить форму автокорреляционной функции и спектральной плотности для трех разных случайных процессов. Как интервал корреляции процесса связан с шириной его спектра? Почему?

В качестве интервала корреляции _корпринять протяженность временного интервала, в пределах которого_х() существенно отлична от нуля, а в качестве ширины спектра аналогичным образом определенный интервал частот.

Контрольные вопросы к разделу 12

1. Постройте интегральный закон распределения вероятности выпадения суммы очков при двухкратном бросании обычной игральной кости.

2. Постройте график одномерной плотности вероятности и интегральный закон распределения для мгновенных значений сигнала типа меандр.

3. Для условий предыдущей задачи рассчитайте первый и второй моменты распределения.

4. Определите два первые момента равномерного распределения случайного процесса.

5. Выведите выражение для второго момента одномерного распределения гармонического сигнала со случайной начальной фазой и линейно-нарастающей во времени амплитудой.

6. Перечислите основные свойства корреляционной функции случайного процесса.

7. Какое из двух утверждений в общем неверно: "если случайные процессы некоррелированы, то они независимы" или "если случайные процессы независимы, то они некоррелированы"?

8. Для каких случайных процессов некоррелированность означает независимость?

9. Какие числовые параметры и функции дают достаточно сведений для построения распределения вероятностей нормального случайного процесса?

10. Назовите причины, затрудняющие использование обычного преобразования Фурье для анализа спектра случайного процесса?

11. Может ли АКФ стационарного случайного процесса иметь форму прямоугольника, симметричного относительно начала координат? Почему?

12. Каков энергетический спектр белого шума? АКФ белого шума?

13. Найдите энергетический спектр стационарного случайного процесса, АКФ которого имеет вид

.

10. Найдите АКФ пачки из N одинаковых прямоугольных импульсов с длительностью₀и интерваломТмежду ними.