12.6. Линейные преобразования случайного процесса

Линейные безинерционные преобразования случайных процессов (усиление или ослабление) не изменяют вид закона распределения вероятностей, но изменяют его масштаб и, соответственно, значения моментов. Так для процесса Y(t)=KX(t) математическое ожидание и дисперсия оказываются равными соответственно

.

Во многих задачах радиотехники исследуемые процессы находятся в дифференциальных соотношениях (например, фаза и частота колебания). Производная случайного процесса является также случайной функцией времени. В силу этого дифференцируемость обусловлена существованием случайной функции , называемой производной случайного процесса и удовлетворяющей соотношению

.

Соотношение для реальных процессов всегда выполняется. Это объясняется, Во-первых, это объясняется тем, что реальные процессы протекают непрерывно, ибо любой источник колебаний в каждый момент может выдать не более, чем единственное значение мгновенной величины колебания. Во-вторых, случайные процессы неизбежно проходят сглаживающие элементы цепей. Поэтому реализации случайных процессов удовлетворяют условию дифференцируемости в любые моменты времени.

Соотношение показывает, что для исследования статистических свойств производной нужно рассматривать разность мгновенных значений X(t), разделенных интерваломt.Статистическая связь пары мгновенных значений определяется функцией корреляции.

Функцию корреляции отношения :

Для стационарного процесса

Поэтому приводится к виду

.

Тогда корреляционная функция производной

.

При t0 числитель и знаменатель стремятся к нулю. Для раскрытия неопределенности следует дважды продифференцировать числитель и знаменатель поt, после чего сделать предельный переход. В результате получается

.

Поскольку х иtвходят вR_x(x+t) равноправно, двойное дифференцирование в (2.54) может рассматриваться как дифференцирование по т. Следовательно, корреляционная функция производной случайного процесса равна взятой с обратным знаком второй производной его корреляционной функции.

Таким образом, для дифференцируемости случайного процесса необходимо существование второй производной его корреляционной функции.

Поскольку

,

то дифференцируемость процесса связана с существованием дисперсии .

Так как R_x(x) четная, обладает симметрией относительно=0 и не возрастает с ростом, для дифференцируемости случайного процесса его автокорреляционная функция должна иметь максимум в точке=0 рис. 2.15. Этому условию не удовлетворяет корреляционная функция, изображенная на рис. 2.7. Характер поведения корреляционной функции дифференцируемого процесса вблизи=0 говорит о необходимости для дифференцирования довольно значительной статистической связи между мгновенными значениями процесса в близких сечениях. Для процесса, имеющего изображенного автокорреляционную функцию как на рис. 12.8, эта связь выражена слабее, поэтому процесс оказался недифференцируемым.

Рис. 12.7. Автокорреляционная функция дифференцируемого случайного процесса

Рис. 12.8. Автокорреляционная функция случайного процесса, не имеющего производной

Случайный процесс может подвергаться n-кратному дифференцированию. Корреляционная функция такого процесса

.

Для существования n-ой производной случайного процесса необходимо, чтобы корреляционная функция последнего допускала 2n-кратное дифференцирование.

При необходимости можно найти и закон распределения мгновенных значений производной случайного процесса. Для этого, используя двумерную плотность вероятности w₂(х(t),х(t+t)) мгновенных значенийX(t) иX(t+t), на основании соотношения

для плотности вероятности разности двух случайных величин

определяется

.

Для вычисления плотности вероятности производной нужно от разности Y(t) перейти к новой случайной величине, найти плотность ее вероятности и совершить предельный переход. Умножение случайной величины на неслучайную (в данном случае напреобразует закон распределений следующим образом

.

Из получается плотность вероятности для производной

.

Так как производная связана с образованием разности мгновенных значений в близких сечениях, закон распределения производной в общем случае не будет совпадать с законом распределения исходного процесса.

При решении многих задач радиотехники важную роль играет статистическая связь между мгновенными значениями случайного процесса и его производной. Вычислим функцию их корреляции:

Таким образом, функция взаимной корреляции случайного процесса и его производной может быть получена дифференцированием автокорреляционной функции исходного процесса. Следует заметить, что в совпадающие моменты времени, т.е. при =0.

.

Другое важное линейное преобразование случайного процесса – интегрирование. Интеграл от случайной функции

,

где X(t) – случайный процесс, в общем случае нестационарный,имеющий функцию корреляцииК_x(t₁,t₂).

Ограничиваясь исследованием математического ожидания M{Y(t)} и автокорреляционной фу

,

т.е. среднее значение интеграла от случайной функции равно интегралу от ее среднего значения. Это соотношение почти очевидно, так как трудно представить среднее значение интеграла от центрированной составляющей отличным от нуля.

Функция корреляции интегрально преобразованного процесса может быть найдена следующим образом

,

откуда

В частном случае стационарного процесса, когда

из и следует

Соотношения показывают, что интегрально преобразованный стационарный процесс является нестационарным.