12.10. Сумма флуктуационного и гармонического колебаний огибающая и фаза результирующего случайного процесса

Как уже говорилось, во многих приложениях случайный процесс может быть интерпретирован как почти гармоническое колебание со случайными амплитудой и фазой. Практически, кроме рассмотренного, часто имеет место случай, когда помеха действует не отдельно от сигнала, а совместно с ним. В простейшем случае в качестве сигнала может действовать немодулированное гармоническое колебание. При этом также важно установить статистические свойства суммарного колебания.

Если говорить о мгновенных значениях результирующего колебания как случайного, то добавление к флуктуационному колебанию детерминированного, каким является сигнал, в сущности не меняет его статистических свойств. Изменяется лишь среднее значение, определяемое мгновенным значением сигнала. Закон распределения мгновенных значений суммы остается таким же, каким был при отсутствии сигнала, но в нем появляется смещение, равное мгновенному значению сигнала. Пусть имеется сумма

,

где n(t) ––нормальный случайный процесс, закон распределения вероятностей которого

;

s(t)=acost– гармоническое колебание.

Очевидно, что закон распределения вероятностей суммы может быть представлен в виде

.

Наличие в правой части члена, зависящего от времени, указывает на нестационарность процесса. Однако в данном случае нестационарность является простейшей, связанной лишь с изменением во времени только среднего значения случайного процесса.

На практике статистический анализ таких колебаний обычно осуществляется не на высокой частоте, а после их детектирования и фильтрации. Поэтому особенно важными становятся статистические характеристики не мгновенных значений суммы высокочастотного сигнала и шума, а ее огибающей и фазы.

По аналогии с колебание, заданное суммой , можно представить в виде

,

содержащем случайные амплитуду А(t) и сдвиг фазы(t). Геометрическое представлениеА(t) и(t) следует из векторной диаграммы рис. 12.152.

Рис.12.15. Векторная иллюстрация суммы гармонического сигнала и случайного колебания

Обозначенные на этом рисунке амплитуды и сдвиги фазы находятся в следующих соотношениях:

Нормальном характере случайного процесса s(t) амплитуды его ортогональных компонентU_шс(t) иU_шs(t) также распределены нормально. Следовательно, ортогональные компоненты амплитуды результирующего колебания также имеют нормальные законы распределения

где ₁и₂– значения, которые могут принять в результате опыта соответствующие случайные амплитудыU₁=a+U_шсиU₂=U_шsстатистически независимы. Это позволяет, пользуясь формулами , в простой форме выразить совместную вероятность того, что будет выполняться неравенства

.

Эта вероятность совпадает с вероятностью того, что конец вектора суммы сигнала с шумом будет лежать в пределах площади S=₁₂вблизи точки с координатами₁,₂:

.

Из и следует, что

Переходя от прямоугольных координат к полярным, формулу можно привести к виду

.

В отличии от , в в качестве параметра входит амплитуда сигнала аи имеется зависимость плотности вероятности сдвига фазы от его ожидаемого значения. Из этого следует, что закон распределения плотности вероятности сдвига фазы уже не является равномерным.

Интегрируя по всем возможным значениям , можно получить одномерный закон распределения вероятности огибающей:

,

где I₀(^.) –модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, которая получается как результат интегрирования функциипов пределах от 0 до 2.

Распределение вида называют обобщенным (на случай присутствия регулярного синусоидального сигнала) законом Релея или законом Релея-Раиса. При а=0 плотность распределения вероятностей обращается в формулу распределения по Релею .

На рис. 12.16 показано семейство зависимостей плотности распределения огибающей суммы гармонического сигнала с нормальным шумом при различных значениях параметра . В качестве аргумента принята относительная величина.

Рис. 12.16. Плотность вероятности огибающей суммы случайного и гармонического колебаний (обобщенное распределение Релея, или распределение Релея-Раиса)

Из рисунка и анализа формулы (2.130) видно, что с ростом кривые становятся все более симметричными и подобными кривым нормального закона распределения. Так, прифункция Бесселя может быть представлена рядом по степеням

,

который при позволяет получить приближенное выражение для модифицированной функции Бесселя

Использование приближения в дает приближенное выражение для плотности вероятности огибающей, приемлемое при

.

Таким образом, если va(это приближенное равенство указывает на область максимума плотности вероятности), то при соблюдении условияприводится к виду

,

Соответствующему нормальному закону распределения вероятностей со средним значением а и дисперсией .

Плотность распределения фазы суммы гармонического колебания с нормальным случайным шумом можно найти в результате интегрирования по v. В результате интегрирования получаются зависимости, графический ход которых изображен на рис. 12.17.

Рис. 12.17. Плотность вероятности сдвига фазы суммы случайного и гармонического колебаний

Кривые на рис. 12.17. показывают, что с ростом отношения сигнал/шум закон распределения плотности вероятности сдвига фазы меняется от равномерного (случай отсутствия регулярного сигнала) до распределения типа -функции. Эта эволюция хорошо объясняется тем, что с ростом амплитуды сигнала неопределенность фазы результирующего квазигармонического колебания становится все меньше, дисперсия фазы стремится к нулю. Фаза, результирующего колебания во все большей степени определяется фазой сигнала. В пределе присдвиг фазы(t) из неопределенного становится достоверным, определяемым сдвигом фазы сигнала (в данном конкретном случае равным нулю).