12.3. Стационарные случайные процессы. Эргодическое свойство

Все множество случайных процессов, с которыми имеет дело радиотехника, могут быть разделены на два больших подмножества. Если случайный процесс протекает во времени однородно, т.е. многомерный закон распределения его мгновенных значений, взятых в различные моменты, не зависит от начала отсчета времени, а зависит только от интервалов между рассматриваемыми моментами

где t– произвольный сдвиг, то такой процесс стационарен. Если же это условие не выполняется, процесс является нестационарным. Условию эквивалентна независимость от времени всех моментов системы случайных величин {X(t_i)}.

Располагая реализациями случайного процесса, можно в ряде случаев ориентировочно, на основании субъективных суждений решить, является процесс стационарным или нестационарным. На рис. 12.6 приведены семейства реализаций двух процессов X(t) иY(t). О первом из них (рис. 12.6,а) можно сказать, что даже на ограниченном отрезке времени наблюдается его нестационарность. Эта нестационарность проявляется в изменении его среднего значения.

Рис. 12.6. Семейства реализаций двух случайных процессов

Наблюдение процесса Y(t) (рис. 12.6) показывает изменение амплитуд выбросов. С течением времени величина выбросов растет, т.е. увенчивается его дисперсия. Иногда качественный вывод о характере процесса, основанный на наблюдении за изменением среднего значения или дисперсии, может быть затруднен.

Следовательно, в общем случае требуется количественное исследование этих характеристик на основе экспериментально полученного семейства реализаций.

Непостоянство во времени любой из характеристик случайного процесса – его среднего значения или дисперсии – является достаточным, чтобы считать процесс нестационарным. Однако постоянство во времени только этих двух характеристик еще недостаточно для отнесения случайного процесса к категории стационарных, так как случайный процесс в общем случае характеризуется не двумя, а большим числом моментных функций.

Для процесса без последействия, полное описание которого производится двумерным законом, стационарность означает, что

.

Формуле эквивалентно символическое равенство

,

означающее, что стационарная случайная функция переходит в саму себя при ее произвольном смещении во времени.

Согласно для одномерного закона распределения стационарного процесса получаем соотношение

,

из которого, если зафиксировать t₁и обозначитьt₁+t=t, следует, что. Из этого выражения видно, что среднее значение и дисперсия стационарного процесса постоянны

.

Для характеристики стационарности собственно случайного процесса выполнение первого из условий не обязательно, поскольку случайный процесс всегда может быть центрирован.

Автокорреляционная функция стационарного случайного процесса X(t) согласно формуле удовлетворяет равенству

,

означающему, что

.

Это соотношение справедливо при любом сдвиге t, в том числе и приt=-t₂, что соответствует переносу начала отсчета времени в точкуt₂. В этом случае можно записать

.

Равенство существенно дополняет характеристику стационарного случайного процесса, выраженную моментными функциями . Это равенство отражает инвариантность автокорреляционной функции в отношении отдельно взятых t₁иt₂. При обозначении=t₂-t₁принимает вид

.

Поскольку автокорреляционная функция четная,

.

Если выполняется наиболее общее условие стационарности , то случайный процесс принято считать стационарным в узком смысле. При выполнении условия случайный процесс считается стационарным в широком смысле.

Если заданы два случайных процесса X(t) иY(t), то при условии инвариантности закона совместного распределения совокупности случайных величинX(t_i) иY(t_i) по отношению к сдвигуtтакие случайные процессы называют совместно стационарными. Понятие совместной стационарности может быть распространено на произвольное число случайных процессов.

Условие совместной стационарности включает в себя стационарность каждого из процессов X(t) иY(t). Функции взаимной корреляцииK_xyиK_yxстационарных процессов зависят только от интерваламежду сечениями, в которых рассматриваются случайные значения функцийX(t) иY(t). Условие симметрии типа для функций взаимной корреляции не выполняется, но выполняется соотношение

.

В некоторых задачах приходится встречаться с процессами, возникающими вследствие суммирования двух или более случайных колебаний. В простейшем случае двух колебаний X(t) иY(t), стационарных и стационарно связанных, их сумма

Z(t)=X(t)+Y(t)

также стационарна. Ее функция корреляции выражается следующим образом

Для вычисления статистических характеристик случайного процесса – его среднего значения, дисперсии и функции корреляции – необходимо располагать совокупностью реализаций. Эти реализации получаются опытным путем. Поскольку эксперимент может дать ограниченное число реализаций (к тому же и ограниченной продолжительности), найденные статистические характеристики процесса будут носить приближенный, в определенной степени случайный характер. С увеличением числа реализаций результаты обработки экспериментальных данных будут со все большей точностью характеризовать случайный процесс. Этот эффект можно пояснить следующими рассуждениями.

Пусть требуется оценить M{X},,K_x(). Исходными данными для определения этих характеристик случайного процессаx(t) служат осциллограммы отNреализаций, полученных в идентичных условиях.

Зафиксировав произвольный момент времени t_i, можно определить для него все значенияx(t_i) и вычислить

что является приближенным значением среднего или его оценкой.С увеличением количества данных опыта, т.е. числаN, результат их обработки (оценка) будет со все большей точностью совпадать с математическим ожиданием.

Для оценки дисперсии нужно образовать ряд значений центрированной случайной величины для момента времениt_i, а именно

и вычислить

.

Значение функции корреляции К_x зависит от интервала между рассматриваемыми сечениями. Поэтому для вычисления ее требуется задаться рядом значений. Для каждого из значенийобразуются две последовательности величин, полученных в результате эксперимента

и

.

Далее находится среднее значение их попарных произведений

.

Полученное значение К_xявляется оценкой коэффициента корреляции двух случайных величинX(t_i) иX(t_i–). Меняя значениеи производя идентичные действия, можно получить оценку корреляционной функцииR_x(). С увеличением числаN надежность результатов может быть получена сколь угодно высокой. Если поставлена задача определенияR_x(), то в отдельном вычислениинет необходимости, так как

.

Для того чтобы установить, является ли процесс стационарным, надо повторить приведенные вычисления для ряда значений t_i. В случае независимости результатов от выбора сечения можно утверждать, что случайный процесс стационарен в широком смысле.

Поскольку стационарный процесс протекает во времени однородно, естественно допустить, что требуемая для отыскания статистических характеристик процесса совокупность ограниченных во времени реализаций может быть получена на основании одной реализации достаточно большой продолжительности Т_р, Выделив из нее несколько более коротких реализаций длительностьюТ_р'. УвеличиваяТ_р, можно получить при неизменномТ_р' все большее число реализацийN. Обработка полученной совокупности приводит к определению статистических характеристик случайного процессаX(t). Таким образом, свойства стационарного случайного процесса могут быть определены на основании единственной реализации однократного опыта достаточно большой продолжительности. Вычисленные по совокупностиNреализаций среднее значение, дисперсия и функция корреляции должны оставаться неизменными в течение всего времени протекания процесса, каким бы продолжительным он ни был. Это значит, что искомые характеристики могут находиться усреднением не по совокупности реализаций, а усреднением по времени текущих значений, полученных по одной реализацииx(t). Этот вывод имеет значение при выборе методики определения характеристик процесса.

Среднее значение можно выразить как

,

где прямая угловые скобки означают усреднение X(t) по совокупности реализаций, а черта сверху – усреднение по времени в пределе за бесконечно большой промежуток, когда стационарный процесс представлен единственной реализациейх(t).

Функцию корреляции стационарного процесса можно вычислить, применяя усреднение также по времени

.

Символическая запись означает, что

.

Поскольку при =0 функция корреляции обращается в дисперсию, поэтому и позволяют определить все основные характеристики стационарного случайного процесса по одной реализации.

Практически находят не точно эти характеристики, а их приближенные оценки, поскольку на практике продолжительность реализации Т_рвсегда ограничена.

При ограниченной длительности реализации Т_русреднение произведения случайной функции (точнее, ее реализации) на самою себя, но смещенную во времени на, может быть осуществлено лишь на интервалеТ_р-. Таким образом, чтобы точность приближенного определенияК_x() при большихбыла удовлетворительной, необходимо соблюдать условиеТ_р>. Признаком того, что продолжительность реализацииТ_рдостаточна для нахождения оценок среднего, дисперсии и корреляционной функции, является вид реализации: если на интервалеТ_рреализация носит колебательный характер, многократно пересекает свое среднее значение, то полученные в результате обработки характеристики могут быть приемлемы для их практического использования.

Но не все стационарные процессы позволяют получить совпадающие статистические характеристики при усреднении по множеству и по времени. Изучение свойств стационарного случайного процесса по единственной реализации оказывается возможным только тогда, когда реализации обладают так называемым эргодическим свойством. Это означает, что любая из реализаций, составляющих ансамбль, должна нести в себе все основные черты процесса, т.е. быть достаточно представительной.