Теоретическая механика. Теория, задания и примеры решения задач (Б.Е.Ермаков)

70

Решение

Рассмотрим отдельно равновесие рамы AC и рамы BC. Расчетные схемы этих рам показаны на рис. 49.

а)	б)

Рис. 49

Для расчетной схемы рис. 49а составим три уравнения равновесия сил (первая форма).

∑Fkx = 0,				P sinα− XC − XA = 0 ,
∑Fky = 0,				P cosα−YA −YC = 0 ,
				P cosα 1 l −P sinα 1 h + XC h −YC		1 l = 0 .
∑MA(Fk ) = 0 ,
				2	2	2
Для расчетной схемы рис. 49б
∑Fkx = 0,				XC′ − XB = 0 ,
∑Fky = 0 ,				YC′ −YB = 0,
				m − XC′ h −YC′	1 l = 0.
∑MB (Fk ) = 0,
					2

Используем численные значения и запишем систему шести уравнений.

71

XA + XC = 5;
Y	+Y = 8,66;
A		C
4XC		− 3YC = -16;
	− XB = 0;		(1)
XC′
YC′ −YB = 0;
4X′		+ 3Y′ =	5.
	C	C

При этом для равновесия шарнира C необходимо, чтобы

XC = XC′ , YC =YC′.

Решая совместно третье и шестое уравнение системы (1), нахо-

дим 8XC = −11,

XC −1,38кН.

Из первого уравнения XA = 5 − XC = 5 +1,38 = 6,38 кН. Используя остальные уравнения, находим

YA = 8,66 − YC = 8,66 −3,49 = 5,17кН;

XB = XC′	= −1,38кН; YB =YC′ = 3,49кН.
Ответ:	XA = 6,38 кН; YA = 5,17кН;
	XB = −1,38кН; YB = 3,49кН.

Задача № 2 На рис. 50 показана плоская составная конструкция, состоящая

из отдельных рам и балок.

Дано: P = 10 кН; m = 5 кНм; q = 4 кН/м; a = 2 м; l = 6 м; h = 4 м; α = 300.

Требуется определить реакции в опорах A, B и E плоской рамной конструкции.

Решение

Расчленяем всю конструкцию в шарнирах B, C, K, D, E и рассматриваем равновесие отдельно каждой части (рис. 51).

72

Рис. 50

Равномерно распределенную нагрузку заменяем равнодействующей Q = qa = 8 кН и прикладываем ее в середине длины распределения.

Составляем уравнения равновесия сил для каждой части.

Рис. 51

73

Балка 1

∑Fkx = 0; XC −RB = 0 ;

∑mC (Fk ) = 0; −m + Rk 31 l = 0.

Откуда	R	= X	C	= 3m = 3 5 = 2,5кН .
	K				l	6
Рама 2	∑Fkx = 0;
						XD - XE + Q = 0;
	∑Fky = 0;					YD -YE = 0;

∑mE(Fk ) =0; YD l - XD a - Q 21 a = 0.

Рама 3

∑Fkx

= 0;

′

′

XB - XD - XC + Pcosα= 0 ;

∑Fky = 0;

Psinα- YD′

- YB = 0 ;

′

′

3

′

1

∑mB (Fk ) = 0 ;

h - Psinα a = 0.

-YDa + XD

2

h + XC

2

Рама 4

∑Fkx = 0;

XA − XB′ = 0 ;

∑Fky = 0;

YB′ −YA = 0;

m +YB′ a − mA = 0.

∑mA(Fk ) = 0;

′

′

′

′

подставим число-

При XD = XD , YD = YD ,

XB = XB ,

YB = YB

вые значения и запишем систему из девяти уравнений.

74

X		− X		= 8;
YE		− YD		= 0;
D			E
6Y			− 2X =		8;
′D			′	D
XD + XC − XB = 8,66;
		+YD′ = 5;			(2)
YB
			′	′	= 5;
−2YD + 6XD
X			′	= 0;
		− X
	A		B
YB′ − YA = 0;

mA − 2YB′ = 5.

Решая совместно третье и шестое уравнения системы (2), находим:

		XD 1,44кН ;		YD =1,81кН.
Тогда	XE = 8 + XD = 9,44кН;
	YE = YD =1,81кН;			YB = 5 −YD′ = 3,19кН;
	′	′
	XB = XD + XC −8,66 =1,44 + 2,5 − 8,66 = −4,72кН;
	′			′
	XA = XB = −4,72кН;			YA = YB = 3,19кН;
	mA = 5 + 24YB′ = 5 + 2 3,19 =11,38кН.
Ответ:	XE = 9,44кН;		YE =1,81кН; RK = 2,5кН;
	XA = −4,72кН;		YA = 3,19кН; mA =11,38кНм.

75

Задача С.7. Расчет плоской фермы

На плоскую ферму действуют три внешние силы F1, F2 и F3 . Определить реакции опор, а также усилия в стержнях фермы ме-

тодом вырезания узлов. Для указанных на чертеже стержней проверить усилия методом сечений. Схемы ферм показаны на рис. 52–55. При расчете принять F1 = 1 кН, F2 = 2 кН, F3 = 3 кН.

Расчет фермы

Фермой называется геометрически неизменяемая конструкция, состоящая из прямолинейных стержней, которые на концах соединяются между собой. Места соединения стержней между собой называются узлами фермы. В реальных конструкциях узлы представляют собой жесткие заклепочные или сварные соединения. Так как размеры узлов по сравнению со стержнями малы, а стержни обладают гибкостью, то при расчете ферм узлы считают идеальными цилиндрическими шарнирами, т. е. шарнирами без трения. Будем рассматривать фермы, все стержни которой и внешние силы лежат в одной плоскости.

Такие фермы называются плоскими.

Ферма называется статически определимой, если число узлов У и число стержней С связаны соотношением С = 2У – 3.

Если С > 2У – 3 , то имеются лишние стержни и ферма является статически неопределимой.

Если С < 2У – 3, то имеются лишние узлы, конструкция не является жесткой, а представляет собой механизм.

На рис. 56 показана ферма, у которой количество узлов У = 8, при этом количество стержней удовлетворяет условию С = 2 8 – 3 = 13.

A и B – опоры фермы; h – высота фермы;

(AB) – пролет фермы - расстояние между двумя смежными опорами;

(AKLM) – нижний пояс фермы; (EDC) – верхний пояс фермы.

76

Рис. 52

77

Рис. 53

78

Рис. 54

79

Рис.55