Теоретическая механика. Теория, задания и примеры решения задач (Б.Е.Ермаков)

80

Стержни 3, 7, 11 – называются стойками. Стержни 1, 4, 9, 12 – называются раскосами.

Стержни, образующие замкнутый треугольник, называют панелью фермы.

Рис. 56

Ферма на рис. 56 имеет 6 панелей.

При расчете фермы принимают следующие допущения.

1.Все стержни фермы прямолинейные и невесомые.

2.Узлы фермы — идеальные шарниры.

3.Внешние силы приложены к узлам фермы.

4.Стержни фермы воспринимают только продольные усилия: сжатие или растяжение.

Расчет фермы состоит в определении опорных реакций и внутренних усилий в стержнях фермы.

При расчете опорных реакций ферма рассматривается как твердое тело, на которое действует плоская система сил. Расчет заключается в составлении расчетной схемы, составлении уравнений равновесия и определении неизвестных реакций.

Усилия в стержнях фермы определяются:

1.Методом вырезания узлов.

2.Методом сечений (методом Риттера).

При составлении расчетных схем следует иметь в виду, что если стержень растянут, то сила, с которой он действует на узел, направлена от узла к стержню. Если же стержень сжат, то усилие направлено к узлу от стержня (рис. 57).

81

Рис. 57

Метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов состоит в последовательном вырезании узлов фермы и рассмотрении их равновесия. Так как на узел действует плоская сходящаяся система сил, для которой можно записать только два уравнения равновесия, то вырезать узлы надо так, чтобы неизвестных сил было не больше двух. При составлении расчетной схемы будем считать, что все стержни растянуты, т.е. все внутренние усилия направим от узла к стержню. Для каждого узла составляются уравнения равновесия

n

∑Fkx = 0, k =1

n

∑Fky = 0. k =1

Если усилия в стержнях, найденные по этим формулам, имеют знак « + », то формально это указывает на то, что стержень растянут, если же знак усилия « – », то стержень сжат.

Метод сечений

Метод сечений (метод Риттера) заключается в том, что ферма рассекается на две части. Одна часть фермы отбрасывается, а ее действие отображается усилиями в стержнях оставшейся части, которые попали в сечение. Усилия в стержнях направляются вдоль

82

стержней к отброшенной части фермы, т.е. опять предполагаем, что все стержни растянуты. Рассматриваемая часть фермы, на которую действуют активные (заданные) силы, опорные реакции и усилия в стержнях, находится в равновесии. При этом получается произвольная плоская (не сходящаяся) система сил, для которой можно записать три уравнения равновесия. Поэтому неизвестных сил в сечении не должно быть больше трех.

Как известно, существуют три формы уравнений равновесия для плоской системы:

n

∑Fkx = 0;

k=1

n

∑Fky = 0;

k=1

n

∑Mo(Fk ) = 0.

k=1

1-я форма

n

∑Fkx = 0;

k=1

n

∑MA (Fk ) = 0.

k=1

n

∑MB(Fk ) = 0.

k=1

2-я форма

n

∑MA (Fk ) = 0.

k=1

n

∑MB(Fk ) = 0.

k=1

n

∑MC(Fk ) = 0.

k=1

3-я форма

При составлении уравнений равновесия выбирается та форма, которая позволяет получить наиболее простые уравнения. Например, если в сечении две неизвестные силы параллельны, то удобно применить 2-ю форму уравнений. Если все силы в сечении попарно пересекаются, то 3-ю форму. В этом случае точки пересечения сил выбираются в качестве моментных точек. Полученное таким образом каждое уравнение равновесия будет содержать одну неизвестную. По сравнению с методом вырезания узлов это значительно ускоряет расчет и увеличивает точность вычислений.

Если в сечении оказывается больше трех неизвестных усилий, то приходится проводить дополнительные сечения.

83

Пример решения задачи

На ферму, показанную на рис. 58, действуют силы F1 = 1 кН, F2 = 2 кН и F3 = 3 кН.

Рис. 58

Определить реакции опор, усилия в стержнях фермы методом вырезания узлов. Для отмеченных стержней проверить усилия методом сечений.

Решение

Обозначим все узлы буквами, а стержни цифрами. Отбросим все опоры и заменим их действие опорными реакциями N1, N2 и NB.

Покажем координатные оси. Полученная расчетная схема представлена на рис. 59.

Проверим ферму на статическую определимость. Ферма имеет 6 узлов и 9 стержней, т.е. У = 6, С = 9. Подставив эти значения в формулу С = 2У – 3, получаем тождество 9 = 2•6 – 3 = 9. Ферма статически определимая.

Для определения опорных реакций воспользуемся первой формой уравнения равновесия для плоской системы сил.

∑Fkx = N1 + F1 − F2 cos600 −NB cos300 = 0;

84

∑Fky = N2 − F2 sin60o −F3 −NB sin30o = 0;

∑MA(Fk ) = −F1 1 tg60o + F2 cos60o 1 tg60o − F2 sin60o 4 − −F3 4 − NB sin30o 5 = 0.

			Рис. 59
Из последнего уравнения находим
N =		1	(F 1 tg60o − F cos60o 1 tg60o +
B	5	sin300	1	2

+F3 4) = 0,4 (1,732 −1,732 + 6,928 +12) =

=0,4 18,928 =7,571 кН.

Подставив это значение в первые два уравнения, находим

N1 = −F1 + F2 cos60o + NB cos30o = −1+ 2 0,5 + 7,571 0,866 = = −1+1+ 6,557 = 6,557кН,

85

N2 = +F2 sin60o + F3 − NB sin30o = 2 0,866 + 3 − 7,571 0,5 = =1,732 + 3 − 3,785 = 0,947 кН.

Итак, N1 = 6, 557 кН, N2 = 0,947 кН, NB = 7,571 кН.

Теперь определим усилия в стержнях фермы методом вырезания узлов. Начинать вырезание можно с узла A или узла B, так как в них неизвестны усилия только в двух стержнях. Начнем с узла A. Вырежем узел A и рассмотрим его равновесие. На узел действует сходящаяся система сил: реакции опор N1 и N2, а также усилия в стержне 1 – S1 и в стержне 2 - S2 . Усилия в стержнях направляем от узла в сторону соответствующих стержней, т.е. мы предполагаем, что эти стержни растянуты. В точке A поместим начало прямоугольной координатной системы Axy. Расчетная схема для узла A показана на рис. 60.

Узел A

Рис. 60

Вэтом случае уравнения равновесия имеют вид

∑Fkx = N1 +S1 cos60о +S2 = 0;

∑Fky = N2 + S1 sin60о = 0.

Из второго уравнения находим

86

S1 = − sinN602 O = − 0,9470,866 = −1,093кН .

Из первого уравнения находим

S2 = −N1 −S1 cos60O = −6,557 −(−1,093) 0,5 = −6,01кН.

Знак « – » формально указывает, что оба стержня сжаты.

Так как усилие в стержне 2 найдено, то можно переходить к узлу C. В этом случае неизвестны усилия в стержнях 3, 4 – S3, S4.

Вырежем узел C и составим для него расчетную схему также, как это было сделано для узла A (рис. 61).

Узел C

Рис. 61

Уравнения равновесия имеют вид

∑Fkx = −S2′ + S4 = 0,

∑Fky = S3 = 0.

Так как S2\ = S2 = –6,01кН, то из уравнений находим

S4 = S2′ = −6,01кН, S3 = 0.

Следовательно, стержень 4 сжат, а в стержне 3 усилия нет. Вырежем узел D. Расчетная схема для него показана на рис. 62.

Неизвестными здесь являются усилия в стержнях 5 и 6 – S5 , S6.

87

Узел D

Рис. 62

Уравнения равновесия имеют вид

∑Fkx = F1 −S1′cos600 + S5 cos300 + S6 = 0,

∑Fky = −S1′sin600 −S3′ −S5 sin300 = 0.

Так как S1\ = S1 = –1,093кН, S3\ = S3 = 0, то из уравнений находим

S5 = sin301 0 (−S1′sin600 −S3′ )= 0,51 −(−1,093) 0,866 − 0 =1,893кН, S6 = −F1 + S1′cos600 −S5 cos300 =

=−1+(−1,093) 0,5 −1,893 0,866 = −3,186кН.

Стержень 5 растянут, стержень 6 сжат.

Так как усилия в стержнях 4, 5 и 6 найдены, то можно переходить

кузлу E или H.

Вырежем узел E. Расчетная схема для него показана на рис. 63. Неизвестными здесь являются усилия в стержнях 7 и 9 – S7, S9.

Узел E

Рис. 63

88

Уравнения равновесия имеют вид

∑Fkx = −S4′ −S5′ cos300 + S9 = 0,

∑Fky =S5′ sin300 + S7 − F3 = 0.

Так как S'4 = S4 = –6,01 кН и S'5 = S5 = 1,893 кН, то из уравнений находим

S9 = S4′ +S5′ cos300 = 6,01+1,893 0,866 = −4,371кН, S7 = F3 −S5′ sin300 = 3 −1,893 0,5 = 2,054кН.

Стержень 7 растянут, а стержень 9 сжат.

Вырежем узел H. Расчетная схема для него показана на рис.64. Неизвестным здесь является усилие в стержнях 8 – S8.

Узел H

Рис. 64

Уравнения равновесия для этого узла имеют вид

∑Fkx = −S6′ − F2 cos600 + S8 cos600 = 0,

∑Fky = −S7′ −S8 sin600 −F2 sin600 = 0.

Так как S'6 = S6 = -3,186 кН, то из первого уравнения находим

S	= F	+	S6′	= 2 + −3,186 = −4,372кН.
8	2		cos600	0,5

Стержень 8 сжат. Второе уравнение используем для проверки уже найденного усилия S7

S7′ = −S8 sin600 − F2 sin600 = −(−4,372) 0,866 − 2 0,866 = = 2,054кН.

89

Усилия в стержне 7, найденные при вырезании узлов E и H, совпали.

Узел B можно использовать для проверки выполненного расчета. Вырежем узел B и рассмотрим его равновесие. Усилия в стержнях 8 и 9 будем считать неизвестными. Из уравнений равновесия для узла B определим эти усилия. Если они совпадут с соответствующими усилиями, найденными выше, то расчет верен, если нет – то следует искать ошибки в предыдущих вычислениях. Расчетная схема для узла B показана на рис. 65.

Узел B

Рис. 65

Уравнения равновесия для узла B имеют вид

∑Fkx = −S9′ −S8′ cos600 − NB cos300 = 0,

∑Fky =S8′ sin600 + NB sin300 = 0.

Решая эту систему уравнений, находим

sin300		0,5
S8′ = −NB sin600	= −7,571		= −4,371кН,
		0,866
S9′ = −S8′ cos600	− NB cos300 = −(−4,371) 0,5 − 7,571 0,866 =
= −4,371кН.

Так как значения усилий в стержнях 8 и 9 совпали, то выполненные вычисления верны.