2- 1_Эконометрика ()

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

Задание 1.

Найти несмещенную оценку дисперсии , несмещенную оценку среднеквадратического отклонения , и оценку ковариационной матрицы вектора , используя данные (в тыс. руб.) о среднедушевых сбережениях (y) и доходах (x) в северных областях России в n=10 семьях. Данные представлены в табл. 2. Рассматривается линейная модель вида

,

где ,

Таблица 2

№ семьи (i)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yi (тыс. руб)	0,66	0,22	4,84	1,98	8,80	3,74	12,76	5,50	16,50	6,60
xi(тыс. руб)	2,20	4,40	6,60	8,80	11,00	13,20	15,40	17,60	19,80	22,00

Решение

Найдем несмещенную оценку дисперсии по формуле

.

Оценку ковариационной матрицы вектора определен из выражения

,

а несмещенную оценку среднеквадратического отклонения определим по формуле

,

где - I-ый диагональный элемент матрицы . Тогда, учитывая, что n=10, p=1, получим

,

Таким образом, несмещенная дисперсия равна

,

а оценка среднеквадратичного отклонения

.

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора :

Задание 2.

Дана оценка ковариационной матрицы вектора несмещенных оценок

:

Чему равна оценка дисперсии элемента вектора , то есть:

1. 5,52;

2. 0,04;

3. 0,01;

4. 2,21.

Решение

0,01

Задание 3.

Пусть , а . Показать, что данная оценка является несмещенной.

Решение

Подставим в формулу вместо Y его выражение

.

Здесь оценка представлена как сумма истинного (неизвестного нам) значения и линейного комбинации случайных остатков . Беря математические ожидания от левого и правого частей

с учетом того, что величина и неслучайны, а , получаем:

Тем самым показано, что МНК – оценки (они же ММП - оценки) неизвестных параметров КЛММР являются несмещенными.