2- 1_Эконометрика (АвторЛ.И. Лузина; Вариант №2.1)
.docМинистерство образования РФ
Томский государственный университет
Систем управления и радиоэлектронике
(ТУСУР)
Центр дистанционного обучения.
Кафедра автоматизированных систем управления (АСУ)
Контрольная работа № 2
по дисциплине: «Эконометрика»
Вариант № 2.1
Автор методического пособия: Л.И. Лузина
Задание 1
Найти несмещенную оценку дисперсии несмещенную оценку среднеквадратического отклонения S1, l = 0,p и оценку ковариационной матрицы вектора , используя данные (в тыс.руб.) о среднедушевых сбережениях (y) и доходах (х) в северных областях России в n=10 семьях. Данные представлены в таб.5.4. Рассматривается линейная модель вида
,
Где М,
Таблица 5,5
№ семьи (i) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
yi (тыс. руб.) |
0,66 |
0,22 |
4,84 |
1,98 |
8,80 |
3,74 |
12,76 |
5,50 |
16,50 |
6,60 |
xi (млн.руб.) |
2,20 |
4,40 |
6,60 |
8,80 |
11,00 |
13,20 |
15,40 |
17,60 |
19,80 |
22,00 |
Решение:
Найдем несмещенную оценку дисперсии по формуле
.
Оценку ковариационной матрицы вектора определен из выражения
,
а несмещенную оценку среднеквадратического отклонения определим по формуле
,
где - 1-ый диагональный элемент матрицы А = (ХТХ)-1. Тогда, учитывая, что n=10, p=1,получим
,
Таким образом, несмещенная оценка дисперсии равна
а оценка среднеквадратичного отклонения
Найдем оценку ковариационной матрицы вектора :
Задание 2
Дана оценка ковариационной матрицы вектора несмещенных оценок
.
Чему равна оценка дисперсии элемента вектора , то есть:
а) 5,52;
б) 0,04;
в) 0,01;
г) 2,21.
Решение:
в) 0,01;
Задание 3
Пусть а . Показать, что данная оценка является несмещенной.
Решение:
Подставим в формулу вместо Y его выражение
Здесь оценка представлена как сумма истинного (неизвестного нам) значения и линейного комбинации случайных остатков Беря математические ожидания от левого и правого частей с учетом того, что величина и неслучайны, а , получаем:
Тем самым показано, что МНК – оценки (они же ММП – оценки) неизвестных параметров КЛММР являются несмещенными.